Re: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Mauro RICCARDI <df185279_at_cerd1.difi.unipi.it>
Date: 1999/07/29

On 28 Jul 1999, Fabio Ceccarelli wrote:

> In altre parole, ci� che intendo dire � che noi siamo abituati ad usare
> questi diagrammi S-T, senza chiederci perch� scegliamo un sistema di
> riferimento ortogonale. Da un punto di vista algebrico, io posso scegliere
> una base di vettori non-ortogonale, (tra loro linearmente indipendenti) e
> rappresentare in questo sistema tutti i diagrammi S-T. Io credo che il
> motivo principale che ha spinto i nostri predecessori ad usare un sistema
> ortogonale � la semplicit� di calcolo. Infatti, le equazioni che ne derivano
> hanno una semplicit� notevole se confrontate con un sistema non ortogonale.

Sembri stare facendo un notevole guazzabuglio tra il *disegnare* qualcosa
su di un diagramma, e il fare i conti ... ti assicuro, quando faccio i
miei calcoli so quello che faccio, e so quello che uso, e lo so perche' me
lo sono chiesto in precedenza ...
Tra l'altro nel tuo post non compare la distinzione tra basi coordinate e
non ... questo lo aggiungo per metterti la pulce nell'orecchio, che
perlomeno le cose sono un tantinello piu' complicate di come le pitturi tu :)

> Per� da questo fatto, nasce un'implicita conseguenza... considerare
> realmente lo spazio e il tempo come se fossero davvero ortogonali.
> A questo punto mi sono chiesto: ma che cos'� l'ortogonalit�? Ed inoltre: �
> possibile estendere il concetto di ortogonalit� ad uno spazio ad "n"
> dimensioni?

Guarda, se e' solo questo che ti serve, te lo dico subito: si', e'
naturalmente possibile, soprattutto se per spazio intendo uno spazio
vettoriale (altrimenti si entra in una *piccola* complicazione che per ora
non intendo approfondire ...); e' mi fa piacerre che esprimi in maniera
esplicita questa *domanda* perche' cosi' ti posso dare una risposta
esplicita: quando in fisica (o in matematica, naturalmente) si parla di
*ortogonalita'*, e' perche' si e' definito in precedenza quello che si
chiama un prodotto scalare; questo non e' niente altro (si fa per dire)
che una generalizzazione delle *proiezioni ortogonali* tanto care al mio
professore di educazione tecnica alle scuole medie ... fatto questo, la
generalizzazione di cui parli e' semplicemente implicita per cosi' dire
nel meccanismo ...

> Ho cercato di ridefinire tale concetto in chiave pi� astratta e il risultato
> a quale sono pervenuto � il seguente: due o pi� dimensioni sono tra loro
> ortogonali, quando dalla loro intersezione, lo spazio (di dimensione "n") a
> cui esse appartengono viene suddiviso in "2^n" parti uguali. ...

No! Non e' nemmeno falso !
Supponiamo che tu con dimensioni abbia voluto indicare delle rette che
fungono da assi coordinati... allora la loro intersezione (di un numero
qualsiasi di loro) e' sempre un punto (la *origine* delle coordinate), che
non puo' *suddividere* lo spazio n-dimensionale in 2^n parti uguali, per
il semplice motivo che se n>1, nessun punto puo' sconnettere il suddetto
spazio (che puoi identificare con |R^n, come si suol chiamare lo spazio
reale n-dim.).

Ma vediamo adesso i tuoi esempi:

> Ad esempio
> l'intersezione di un punto con una retta, fa si' che il punto stesso divida
> la retta in 2 parti uguali (punto: dimensione zero, retta: dimensione
> uno... 2^1).

Allora stai considerando n=1 , cioe' il tuo spazio e' la retta;
Percio' l'intersezione tra il punto e la retta, come dici giustamente,
e' il punto stesso ... pero' poi dici:

> L'intersezione di due rette (tra loro ortogonali) suddivide il
> piano in 2^2 (quattro) parti uguali.

Adesso fai capire che per intersezione intendi l'unione (insiemistica)...
decisamente fuorviante !
Poi pero' ti spingi anche piu' in la' !
E cioe' affermi:

> L'intersezione di tre rette (tra loro
> ortogonali), suddivide lo spazio in 2^3 (otto) parti uguali.

E qui non c'e' nessun senso: se per intersezione vuoi dire l'intersezione
insiemistica (come nell'esempio 1), allora essa e' un punto (supposto che
tu richieda che tre rette ortogonali si intersechino per forza in un solo
punto) e in quanto tale non sconnette lo spazio 3dim;
Se invece intendi la unione insiemistica (lessico piuttosto esotico, ne
convieni ?) come fai nell'esempio 2, allora queste non possono sconnettere
uno spazio 3dim (la cosa e' evidente, ma puoi trovare la dimostrazioni su
qualsiasi buon libro di geometria).

Percio' la tua definizione e' patologica (non me ne volere, e' gergo
tecnino, per quanto sembri strano ... :) ).

Chiaramente tutta la *induzione* che segue non ha valore in quanto basata
su ipotesi false: in quanto tale, non lo commentero' (e forse e' meglio.)

[snip]

> Bene allora a questo punto riprendiamo il discorso dal diagramma S-T.
> Innanzittutto poniamoci in una regione spazio-tempo non influenzata da
> grandi masse, al fine di rendere trascurabile l'effetto della curvatura
> spazio-tempo indotta da quest'ultime. In tale regione, non dovrebbe essere
> errato applicare la geometria euclidea (cos� come non � sbagliato applicarla
> sul nostro pianeta :-) ). ...

Beh, scusa se te lo dico, ma sbagliare grossolanamente le basi del
ragionamente, e poi andare a preoccuparsi di queste finezze, mi pare un
po' eccessivo, non trovi ?

Comunque, ti voglio ancora ricordare (nonostante quello che dici poi, cfr.
poi), che la *geometria* che si usa in relativita' per trattare lo
spazio-tempo (che e' un ente geometrico *inventato* dalla relativita'
ristretta (e poi ereditato localmente da RG)) e' la *geometria di
Minkowsky*!

> ... In questo caso, non c'� alcun bisogno di
> utilizzare delle geometrie complesse per analizzare i fatti. Spero che
> converrete con me, se affermo che, in particolari condizioni fisiche, la
> geometria di Minkowski pu� approssimarsi con quella euclidea. Inolte, per
> quanto riguarda l'osservazione che mi � stata fatta circa l'uso della
> geometria euclidea, laddove dovrebbe essere usata quella di Minkowski,
> vorrei far notare che ponendo u=ict (i = unit� immaginaria; c = velocit�
> della luce; t = tempo), il formalismo matematico che ne deriva dalla
> geometria minkowskiana � identico a quello della geometria euclidea... anche
> se i concetti fondamentali sono diversi.

Il formalismo matematico e' diverso, ed e' meglio che tu lasci perdere in
questa nostra discussione *fatta a gesti* dei trucchetti formali come
questo: la faccenda si fa davvero spinosa se non si puo' discutere usando
il necessario linguaggio matematico.
Tra l'altro, credo che tu non abbia ben chiaro in mente cosa si intende
per *geometrie approssimabili con altre geometrie* ...

Piu' di tanto non me la sento di continuare, perche' il tuo post e'
intriso della tua ipotesi iniziale, che e' contraddittoria ... capisci,
non e' per cattiveria o pigrizia, ma e' proprio che non posso parlare (ma
nemmeno leggere !) di cio' che scrivi tu nel seguito ... semplicemente non
lo capisco !

Comunque ti preannuncio un *secondo fascicolo* del post, per evitare di
appesantire troppo il presente.

   grazie per lattenzione
                      bye mr
Received on Thu Jul 29 1999 - 00:00:00 CEST