ernesto.alto_at_iol.it (ernesto) wrote:
>Se poi si vuole "vincere" su un numero ritardato, il modo c'�: basta
>prendere un numero che sia vicino alle 160 settimane di ritardo e poi
>aumentare la puntata di un decimo per ogni estrazione di ulteriore
>ritardo. All'uscita del numero si vincer� esattamente 10 volte la
>posta giocata la prima volta (recuperando tutto il resto delle
>puntate).
>Il teorico pu� ben asserire che il numero ritardato pu� anche non
>uscire MAI essendo ad ogni estrazione la sua probabilit� di uscita
>sempre di 1/18, solo che in pratica semplicemente NON ACCADE.
>E tra la formuletta del teorico e la prova empirica, nella scienza
>galileiana deve vincere la prova empirica.
>Sgradevole, inelegante, contro il buon senso.... ma � proprio come se
>ci fosse uan qualche dannata memoria...
E invece il teorico dice che prima o poi il numero deve uscire (cioe' la P che
non esca mai e' zero), ma non si fa prendere la mano da quel "prima o poi"...
Solo che questo si puo' dire di qualunque numero, ritardatario o no; quindi ai
fini del metodo "puntate crescenti" il ritardo e' un informazione irrilevante
(=inutile).
E comunque voglio provare a scendere nei particolari.
Supponiamo che un giocatore, ogni settimana sulla stessa ruota, giochi sul
terno indicando sempre gli stessi 3 numeri (e' quello che si definisce "terno
secco"? non sono pratico di gergo lottologico).
Se vuoi, ammettiamo pure che, prima che il giocatore inizi la serie di giocate,
detti numeri siano tutti in ritardo a piacere.
A = {esce il terno prefissato sulla ruota prefissata}
P[A] = (5/90)*(4/89)*(3/88) = 1/11748 (fai i conti e vedi...)
B = {in m settimane, esce almeno una volta il terno prefissato sulla ruota
prefissata}
B\ = "il complementare di B" = {in m settimane, esce zero volte il terno
prefissato sulla ruota prefissata}
C_n = {il terno prefissato non esce alla n-esima settimana}
B\ = C_1 e C_2 e C_3... e C_m (notare che C_n sono eventi indipendenti)
per ogni n, P[C_n] = 1 - P[A] = 11747/11748
P[B\] = P[C_1 e C_2 e C_3... e C_m] = P[C_1]*P[C_2]*P[C_3]...*P[C_m] = P[C_n]^m
= (11747/11748)^m
P[B] = 1 - P[B\] = 1 - (11747/11748)^m
Concludendo:
P[{in m settimane, esce almeno una volta il terno prefissato sulla ruota
prefissata}] = 1 - (11747/11748)^m
Se m = 100, tale probabilita' vale circa 0.00848 (848 su 100000).
Se m = 8143, tale probabilita' vale circa 0.5000107894694 (50%).
Come dice
http://www.lottomatica.it/calcolo.htm, quando si indicano tre numeri
il terno viene pagato 4250 volte la quota puntata; meno un 3% per lo stato,
fanno 4122.5 volte la quota. Cio' significa che, in caso di vincita, il
giocatore guadagna 4121.5 volte la quota puntata.
Ora supponiamo quanto segue.
Obiettivo del giocatore e' guadagnare 4121500 lire
(quattromilionicentoventunomilacinquecento lire), quindi fa il seguente
ragionamento.
.......................... inizio del ragionamento del giocatore
La prima settimana punto 1000 lire; se vinco ho raggiunto l'obiettivo e mi
fermo; se perdo metto a bilancio -1000 lire (totale -1000 lire) e aspetto la
seconda settimana.
La seconda settimana punto 1000.24263011 lire; se vinco, guadagno esattamente
1000.24263011 * 4121.5 - 1000 = 4121500 lire, quindi ho raggiunto l'obiettivo e
mi fermo; se perdo metto a bilancio altre -1000.24263011 lire (totale
-2000.24263011 lire) e aspetto la terza settimana.
La terza settimana punto 1000.48531909 lire; se vinco, guadagno esattamente
1000.48531909 * 4121.5 - 2000.24263011 = 4121500 lire, quindi ho raggiunto
l'obiettivo e mi fermo; se perdo metto a bilancio altre -1000.48531909 lire
(totale -3000.7279492 lire) e aspetto la quarta settimana.
###
Nel caso che io non abbia raggiunto l'obiettivo nelle prime k-1 settimane,
indichiamo con p_k la puntata alla k-esima settimana e con b_k il bilancio
immediatamente prima della giocata.
In tal caso notiamo che il bilancio e' b_k = -somma_(i=1..k-1){p_i} lire (la
somma di p_i per i che va da 1 a k-1, presa con segno negativo).
Indichiamo con g_k il guadagno in caso di vincita alla k-esima settimana.
###
La k-esima settimana punto p_k = 1000*(1+1/4121.5)^(k-1) lire. (vedi nota [1])
Se vinco, guadagno esattamente:
g_k =
p_k * 4121.5 + b_k =
p_k * 4121.5 - somma_(i=1..k-1){p_i} =
1000*(1+1/4121.5)^(k-1) * 4121.5 - somma_(i=1..k-1){p_i} =
1000*(1+1/4121.5)*(1+1/4121.5)^(k-2) * 4121.5 - somma_(i=1..k-1){p_i} =
1000*(4121.5+1)*(1+1/4121.5)^(k-2) - somma_(i=1..k-1){p_i} =
1000*(1+1/4121.5)^(k-2) * 4121.5 + 1000*(1+1/4121.5)^(k-2) -
somma_(i=1..k-1){p_i} =
p_(k-1) * 4121.5 + p_(k-1) - somma_(i=1..k-1){p_i} =
p_(k-1) * 4121.5 - somma_(i=1..k-2){p_i} =
p_(k-1) * 4121.5 + b_(k-1) =
g_(k-1)
cioe' quanto avrei guadagnato se vincevo alla (k-1)-esima settimana.
Siccome la formula "p_k = 1000*(1+1/4121.5)^(k-1)" per la puntata alla k-esima
settimana restituisce 1000 quando k=1, ed inoltre in tal caso g_1=4121500, per
induzione abbiamo che: per ogni k intero positivo la formula per p_k comporta
un guadagno eventuale di g_k = 4121500 lire.
Possiamo inoltre ricavare una formula per il bilancio alla k-esima settimana:
b_k =
g_k - p_k * 4121.5 =
4121500 - 1000*(1+1/4121.5)^(k-1) * 4121.5 =
4121500*[1-(1+1/4121.5)^(k-1)]
###
Prima o poi uscira' il mio terno, infatti:
P[{prima o poi esce il terno prefissato sulla ruota prefissata}] =
limite_(m->inf) P[{in m settimane, esce almeno una volta il terno prefissato
sulla ruota prefissata}] =
limite_(m->inf) 1 - (11747/11748)^m =
1 - limite_(m->inf) (11747/11748)^m =
1 - 0 =
1
Dunque, certamente, prima o poi guadagnero' 4121500 lire!
.......................... fine del ragionamento del giocatore
Il ragionamento del giocatore e' formalmente corretto.
Il trabocchetto sta nel fatto che "prima o poi" vuol dire "dopo un tempo
infinito", mentre, preso un qualunque numero m di settimane grande a piacere,
e' vero che la probabilita' di guadagnare 4121500 lire aumenta avvicinandosi
sempre piu' a 1, ma e' vero anche che esiste una residua probabilita' di
perdere una somma molto piu' grande! E l'aspettazione di guadagno e' negativa!
Ed inoltre ci vuole un numero enorme di settimane per avvicinare a 1 la
probabilita' di guadagnare (vedremo dopo che ci vogliono 8143 settimane solo
per avere probabilita' di guadagnare - ovviamente guadagnare 4121500 lire -
maggiore del 50%).
In altre parole, aumentando m si rende arbitrariamente piccola la probabilita'
di perdere, ma contemporaneamente aumenta la cifra da perdere, mentre il
guadagno medio rimane negativo.
In termini teorici, la variabile aleatoria G_m (il guadagno, positivo o
negativo, alla m-esima settimana) ha sempre media (aspettazione) negativa.
Vediamolo.
G_m e' una variabile aleatoria a due valori, che sono {g_m, b_(m+1)}, cioe'
{4121500, 4121500*[1-(1+1/4121.5)^m]}, con distribuzione di probabilita':
p(g_m) = 1 - (11747/11748)^m
p(b_(m+1)) = (11747/11748)^m
La media, o aspettazione E[], di G_m e':
E[G_m] =
g_m*p(g_m) + b_(m+1)*p(b_(m+1)) =
4121500*[1-(11747/11748)^m] + 4121500*[1-(1+1/4121.5)^m]*(11747/11748)^m =
--- a questo punto poniamo q=11747/11748 e r=4121.5 ---
4121500*[1-q^m] + 4121500*[1-(1+1/r)^m]*q^m =
4121500*{[1-q^m] + [1-(1+1/r)^m]*q^m} =
4121500*{1 - q^m + q^m - q^m*(1+1/r)^m} =
4121500*{1 - q^m*(1+1/r)^m} =
4121500*{1 - [q*(1+1/r)]^m} =
4121500*{1 - [q*(r+1)/r]^m} =
Dimostriamo che "1 - [q*(r+1)/r]^m" e' negativo:
1 - [q*(r+1)/r]^m < 0
[q*(r+1)/r]^m > 1
q*(r+1)/r > 1
(11747/11748)*4122.5/4121.5 > 1
11747*4122.5 > 11748*4121.5
48427007.5 > 48419382
Quindi l'aspettazione E[G_m] e' negativa per ogni m intero positivo.
Vale a dire: dopo m settimane il guadagno medio e' negativo, dunque non
conviene giocare.
D'altra parte, siccome G_m ha solo due valori, non ha molto senso parlare di
media (avrebbe senso se si ripetesse molte volte la m-sequenza di giocate
settimanali, per farsi un idea del guadagno medio e quindi del guadagno totale
atteso).
Pertanto vediamo piuttosto che prospettiva ha il giocatore sostenendo il gioco
per 8143 settimane.
Dopo m settimane, i casi sono due: S (successo) e F (fallimento).
Per la precisione:
S = {il giocatore ha guadagnato 4121500 lire}
(perche' e' uscito il terno alla k-esima settimana, con k minore o uguale a m,
e il giocatore si e' fermato)
F = {il giocatore ha guadagnato b_(m+1) = 4121500*[1-(1+1/4121.5)^m] lire}
(trattasi di guadagno negativo, cioe' di perdita di denaro)
Sostituendo m = 8143 abbiamo:
S = {il giocatore ha guadagnato 4121500 lire}
F = {il giocatore ha guadagnato -25595358.64322 lire}
Inoltre le rispettive probabilita' sono:
P[S] = 1-(11747/11748)^m = 1-(11747/11748)^8143 = 0.5000107894694
P[F] = 1-P[S] = 0.4999892105306
Quindi sostenendo il gioco per 8143 settimane il giocatore ha il 50% di
probabilita' di guadagnare circa 4 milioni di lire e il 50% di probabilita' di
perdere circa 26 milioni di lire.
Non e' certo allettante.
Notare che 8143 settimane sono circa 163 anni.
Inutile dire che sostenendo il gioco per meno di 8143 settimane il giocatore ha
meno del 50% di probabilita' di guadagnare circa 4 milioni e piu' del 50% di
probabilita' di perdere meno di 26 milioni (la frase e' contorta, ma corretta).
Viceversa, sostenendo il gioco per piu' di 8143 settimane, il giocatore ha piu'
del 50% di probabilita' di guadagnare circa 4 milioni e meno del 50% di
probabilita' di perdere piu' di 26 milioni.
Proviamo con m = 10000.
S = {il giocatore ha guadagnato 4121500 lire}
F = {il giocatore ha guadagnato -42507561.28542 lire}
P[S] = 1-(11747/11748)^10000 = 0.5731168455822
P[F] = 0.4268831544178
Cioe' il giocatore ha:
* il 57% di probabilita' di guadagnare 4 milioni di lire
* il 43% di probab. di perdere 42 milioni di lire
La media del guadagno e' pari a circa -15 milioni di lire.
Proviamo con m = 100000.
S = {il giocatore ha guadagnato 4121500 lire}
F = {il giocatore ha guadagnato -1.416018696566e+17 lire}
P[S] = 1-(11747/11748)^100000 = 0.9997990490004
P[F] = 0.0002009509996
Cioe' il giocatore ha:
* il 99.98% di probabilita' di guadagnare 4 milioni di lire
* il 0.0201% (circa 1/4976) di probab. di perdere 141 milioni di miliardi di
lire (35 miliardi volte 4 milioni)
In sostanza e' come se partecipasse a un gioco in cui ti regalano 4 milioni ma,
1 volta su 5000, ti tolgono 35 miliardi di volte 4 milioni.
Inutile dire che anche qui la media e' negativa (pari a circa -28455 miliardi
di lire).
Ammesso che un giocatore fosse disposto a sostenere un tale rischio, dovrebbe
avere un budget iniziale di almeno 141 milioni di miliardi di lire, il quale e'
dell'ordine di un centinaio di volte il debito pubblico italiano.
Infine devo far notare che anche se il giocatore indica ogni settimana tre
numeri diversi, il calcolo delle probabilita' rimane lo stesso.
[1] Qui faccio cadere dal cielo la formula per p_k, dimostrando poi per
induzione che e' corretta. In realta' la formula si ricava dimostrando prima
che se "p_k = (1+1/4121.5)*p_(k-1)" allora il guadagno g_k e' uguale al
guadagno g_(k-1). Da tale formula ricorsiva segue facilmente la formula per
p_k.
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Marco Coletti
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Received on Wed Jul 28 1999 - 00:00:00 CEST