Re: I solitoni

From: Sir Alisander <sir.alisander_at_earthling.net>
Date: 1999/07/26

        "I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn
along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly
stopped - not so the mass of water in the channel which it had put in
motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of
violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward
with great velocity assuming the form of a large solitary elevation, a
rounded, smooth and well defined heap of water, which continued its
course along the channel apparently without change of form or
diminution of speed..."
        J. Scott Russel, citato in "Spectral Transform and Solitons",
di F. Calogero e A. De Gasperis, ed. North Holland 1982.
        Il solitone venne trovato per la prima volta
"sperimentalmente" nelle soluzioni numeriche dell'equazione KdV, che �
appunto la riduzione dell'eq. di Navier-Stokes per un canale poco
profondo. L'eq. KdV si scrive:

ut + uxxx - 6uux = 0

dove ut � la derivata di u(x,t) rispetto a t e cos� via (attenzione:
l'eq. � autonoma!).
        Quest'equazione � S-integrabile, nel senso che la sua
soluzione pu� essere trovata tramite la "Trasformata Spettrale", che �
una generalizzazione non-lineare della Trasformata di Fourier.
        La Trasformata Spettrale di una funzione si trova impostando
il problema spettrale di Schroedinger (quindi lineare) con al posto
del potenziale la funzione. Lo spettro dell'operatore cos� costruito
avr� una parte discreta e una parte continua. Il solitone �
l'antitrasformata di un autovalore dello spettro discreto. Le
equazioni S-integrabili sono quelle per cui l'evoluzione della
trasformata spettrale � semplice, in esatta analogia col metodo di
Fourier per le eq. lineari.
        Ovviamente non soltanto la KdV � S-integrabile, ma anzi molte
sono le eq. appartenenti alla classe (nel libro citato ce n'� tutta
una lista). Tra queste alcune avranno delle soluzioni di tipo
solitonico, che possono essere anche molto varie: alcune ammettono
soluzioni multisolitoniche, altre - in particolare l'eq. di Burgers -
i "kinks", soluzioni cio� sigmoidali la cui derivata � un solitone
formalmente analogo a quello della KdV. Anche l'eq. non-lineare di
Schroedinger ammette solitoni, anzi in un certo senso � la "madre" di
alcune eq. S-integrabili. Infatti ad essa si pu� giungere partendo da
queste, quando il termine non-lineare � piccolo, tramite un'opportuna
espansione in serie, usando variabili "lente" e "veloci".
        Sperando di averti soddisfatto, ti consiglio per� il libro di
Calogero perch� il primo capitolo � un'introduzione molto leggibile
alla materia.

        Ciao,
        Un Alex solitonico.
Received on Mon Jul 26 1999 - 00:00:00 CEST