Re: Sin ( x ) > 1

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1999/07/14

AndreaDB ha scritto:
> ...
> Aumentando ulteriormente l'angolo di incidenza x[1] il secondo membro
> DEVE aumentare, ma le leggi di Snell-Cartesio restano una relazione tra
> seni.
> Ne segue o l'immediata invalidazione della legge di S-C e x[b] sarebbe
> una discontinuita' per la validita' della detta legge, o l'accettazione
> dell'esistenza di seni complessi.... > 1.
> (dico cosi' perche' mi pare di aver letto sulla lavagna in qualche
> distratta lezione sen() > 1, mentre se considerassi aggiungersi un
> esponenziale non complesso per valori di x < x[b] non sarebbe necessario
> ammettere sin x >1 .. )
Era distratta la lezione o eri distratto tu? :-)

> Ma.... i numeri complessi non ammettono l'assioma d'ordine e non e'
> possibile definirvi le relazioni di maggioranza.
E allora?

> Il fenomeno che avviene al raggio si chiama fisicamente EVANESCENZA
> dell'onda, in sostanza l'onda si trasmetterebbe oltre la discontinuita'
> ma decadrebbe esponenzialmente.
>
> Quello che mi chiedo e':
> _ energeticamente, l'onda riflessa, perde parte della sua energia? (Se
> no la legge di conservazione si farebbe benedire!)
> _ come va inquadrato il senso dell'evanescenza (matematicamente)?

Domande cosi' mi fanno pensare che bisognerebbe farsi pagare le risposte
:-)))

Cominciamo dal fondo. Hai gia' avuto qualche risposta, ma e' piu'
semplice se vado per mio conto.
In riflessione totale, l'onda riflessa porta la stessa energia di quella
incidente. Inoltre c'e' l'onda evanescente, che si attenua
esponenzialmente allontanadosi dalla superficie (si estingue
praticamente entro qualche lunghezza d'onda).
Cosa non semplice da vedere: l'onda evanescente *trasporta energia*, ma
parallelamente alla superficie: tanta ne arriva da sinistra, tanta se ne
va a destra.

Naturalmente la matematica e' quella delle eq. di Maxwell, con le note
condizioni di continuita' alla superficie di separazione.
Se sei sotto l'angolo limite, la soluzione richiede *tre* onde:
1) incidente
2) riflessa
3) rifratta
Legge di Snell, intensita' e polarizzazione delle onde incidente e
rifratta si ricavano tutte dalle eq. di Maxwell e dalla continuita' dei
campi.

Se superi l'angolo limite, l'unica differenza e' che l'onda rifratta
cambia espressione matematica: non puo' piu' essere un'onda piana. Come
sei abituato a scriverle? va bene exp(i(k1 x + k2 y - wt)) ?
(Qui x lo intendo tangente alla superficie, y normale, del mezzo 1 verso
il mezzo 2.)
Occorre prendere la forma exp(i k1 x - k2 y - iwt) che e' appunto
un'onda evanescente.
Nota che nel primo caso fra k1, k2, w c'e la relazione k1^2 + k2^2 = (n2
w / c)^2, mentre nel secondo caso k1^2 - k2^2 = (n2 w / c)^2.

Il cambiamento fra le due forme corrisponde al seno > 1, e si puo' anche
formalmente vedere in quel modo. Infatti se il seno e' > 1, il coseno e'
immaginario, e k2 e' proprio legato al coseno dell'angolo.

Lo so che non e' una spiegazione completa, ma che posso farci?
Comunque ci sono molti libri dove puoi trovare queste cose; la mia
bibbia e' "Principles of Optics" di Born e Wolf, ma credo che anche
libri piu' semplici, per esempio "Ottica" di B. Rossi, vadano bene.
Qualcuno puo' confermare?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Wed Jul 14 1999 - 00:00:00 CEST