Giochiamo con le metriche

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Thu, 20 Apr 2023 14:33:59 +0200

Per capire se sia vero che un cambiamento di coordinate può far
passare da uno spazio-tempo a un altro, proviamo a studiare un altro
esempio conosciutissimo: quello della geometria di Schwarzschild.
Le coord. usate hano i soliti nomi di uno spazio-tempo con coord.
sferiche: t, r, theta, phi.

Vorrei poter supporre noto che la metrica di Schw. (1916 con cautele
che sarebbe troppo lungo chiarire)) in queste coordinate è una
soluzione delle eq. di Einstein nello spazio vuoto che circonda un
corpo a simmetria sferica di massa data M.
Un teorema di Birkhoff assicura che la soluzione rssta valida anche in
condizioni non statiche, ossia se la massa si contrae o si espande,
purché conservi la simmetria sferica.
(Molto interessante il fatto che lo stesso è vero anche nella
gravitazione newtoniana.)

La metrica di Schw., scritta in unità in cui oltre che c=1 sia anche
G=1, è questa:

dtau^2 = (1 - 2M/r) dt^2 - r/(2M - r) dr^2 - r^2 dtheta^2 -
            r^2 sin^2(theta) dphi^2.

Una discussione di questa metrica, del significato fisico delle
coordinate, e di altro ancora, la trovate in
http://www.sagredo.eu/lezioni/irg/irg05.pdf
Qui interessa solo oseervare che la metrica è diagonale e statica.
Diagonale è ovvio: non compaiono termini coi prodotti dei
differenziali delle coodinate, ma solo quelli coi quadrati.
In altre parole, il tensore metrico è diagonale.
Statica significa che i coeff. della metrica non dipendono dalla coord.
temporale t.

Nota.: t è una coord. temporale solo se r > 2M.
Al contrario, se r < 2M la coord. temporale è r e la metrica *non è
statica*.

Non mi occuperò qui dell questione che ha fatto sorrere fiumi
d'inchiostro prima di essere risolta: la famosa "singolarità" in
r = 2M.
La siNgolarità si manifesta in due modi:
- il coeff. di dt^ si annulla
- il coeff. di dr^2 va a infinito.
Sicuramente ciò significa che non si possono usare queste coordinate
per r = 2M. ma la domanda è se si tratti di una singolarità fisica o
solo dovuta alle coordinate.
Do solo la risposta: r = 2M *non è* una singolarità fisica, però è un
"orizzonte". Questo è un fatto avente significato fisico.

Per risolvere la questione della singolarità, nel tempo sono state
escogitati diversi sistemi di coordinate. QueLlo di cui voglio ora
parlare è stato scoperto nel 1960, indipendentmente da Kruskal e
Szekeres, per cui è universalmente noto come "metrica (o coordinate)
di Kruskal-Szekeres" (KS):

dtau^2 = (8M/r) exp(-r/2M) (dv^2 - du^2) - parte in dtheta^2 e dphi^2
            invariata (1)

u+v > 0, u^2 - v^2 > -1

Occorre qualche spiegazione.
Se disegniamo un piano cartesiano con gli assi u orizzontale e v
verticale, le due condizioni scritte delimitano la "carta" alla
regione compresa tra la bisettrice del 2° e 4° quadrante, e il ramo
superiore dell'iperbole v^2 - u^2 = 1.
Nell'espressione della metrica compare anche r: che ci sta a fare?
Va letto come una funzione di u e v definita da

(r/2M - 1) exp(r/2M) = u^2 - v^2. (2)

Questa definisce la funzione r(u,v), perché il primo membro è
strettamente crescente per r>0 e quindi invertibile. Però l'inversione
non si fa con funzioni elementari.
Sappiamo che r = 2M è la "singolarità" delle coord. di Schw., e dalla
(1) si vede che sulla singolarità u = v: la bisettrice del primo
quadrante.
  Guardando la (1) si vede che la metrica di KS *non ha alcuna
singolarità* in quei punti, il che dimostra appunto che la singolarità
di Schw. è solo colpa delle coordinate.
C'è invece una vera singolarità in r=0, e di questa non mi occuperò.

Guardando la (1) si vedono altre cose:
- la coord. v è sempre temporale (il coeff. di dv^2 ò sempre >0)
- le altre coord. sono sempre spaziali (coeff. negativi)
- anche la metrica di KS è diagonale
- ma *non è statica* (tutti i coeff. della metrica dipendono da v
tramite r.

Ecco ora la domanda: la metrica di Schw. e quella di KS rappresentano
lo stesso spazio-tempo, o due diversi?
Notate due cose;
1) Il "tempo proprio" nel senso di Landau e anche di Corda, è diverso
nei due casi
2) Dato che la metrica di KS è diagonale, non c'è problema a definire
le sezioni spaziali, come non c'è neppure nella metrica di Schw. Solo
che lo spazio è lo stesso a tutti i tempi in Schw., mentre varia nel
tempo in KS. Dunque anche lo spazio è diverso nelle due metriche.

Detto questo, lascio la risposta a chi mi legge.
(Come la penso io credo sia noto, ma non conta.)
-- 
Elio Fabri
Received on Thu Apr 20 2023 - 14:33:59 CEST

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