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From: Mauro Prencipe <prencipe_at_dsmp.unito.it>
Date: 1999/07/08

Gianluca Gindro wrote:

> Salve a tutti,
> nello studio dell'oscillatore armonico si considera che la sua energia
> potenziale sia una funzione pari nelle x , in genere 1/2 k x^2.
> D'altra parte si dice che se l'energia potenziale fosse pari non si
> potrebbe capire la dilatazione termica e per questo si introsuce un
> termine perturbativo dispari nell' en. pot.(il coefficiente di
> anarmonicit� s)
> Qualcuno mi saprebbe spiegare il perch� di questo?
> Cosa c'entra la temperatura?

Dunque, proviamo a spiegare!Se imposti l'equazione di Schroedinger per
l'oscillatore armonico
(cioe' metti il potenziale uguale a 1/2 k x^2) ottieni delle funzioni
d'onda che descrivono oscillazioni di ampiezza crescente con
l'energia e simmetriche rispetto al punto di equilibrio.
Se passi alla descrizione di un sistema termodinamico
(meccanico-statistico),
hai tanti oscillatori che si distribuiscono secondo una data legge
su piu' livelli energetici dell'oscillatore armonico e, all'aumentare
della temperatura (che puoi a questo punto introdurre nel sistema
termodinamico) divengono via via piu' popolati livelli ad alta
energia che hanno grandi ampiezze di oscillazione.
Tuttavia, essendo le oscillazioni simmetriche rispetto al
punto di equilibrio, la distanza media di equilibrio non cambia.
Immagina due atomi legati con un potenziale interatomico
armonico: avrai una distanza di equilibrio che dipende
dal bilancio delle forze attrattive e repulsive; quella distanza
di equilibrio definisce il punto di minimo potenziale dell'oscillatore
armonico e se gli atomi si avvicinano o si allontanano, il potenziale
sale (in modo armonico); se aumenti la temperatura, l'ampiezza delle
oscillazioni aumenta ma la distanza di equilibrio non varia (espansione
termica nulla).

Se introduci un termine di anarmonicita' nel potenziale (devi risolvere
l'equazione di Schroedinger con un metodo perturbativo) le funzioni
d'onda dell'oscillatore divengono asimmetriche. A bassa temperatura
sono popolati solo i livelli energetici piu' bassi che hanno ampiezze
relativamente piccole; il calcolo della distanza di equilibrio media
per questi livelli porta a valori superiori (ma non troppo) alla distanza

corrispondente al punto di minimo del potenziale. A temperature piu'
alte vengono popolati livelli con grande ampiezza di vibrazione
che portano a distanze medie di equilibrio superiori a quelle
ottenute per le basse temperature ed ecco spiegata l'espansione
termica.

Con un disegno della curva di potenziale e delle funzioni
d'onda per l'oscillatore anarmonico diventa semplice capire
il meccanismo. Comunque, spero di essere stato chiaro
ugualmente.

Ciao
Mauro
Received on Thu Jul 08 1999 - 00:00:00 CEST