Re: Autofunzioni del potenziale coulombiano

From: Hamlet <gianluca.petrillo_at_rivoli.alpcom.it>
Date: 1999/05/16

Simone Dalla Stella wrote:

> Nel momento in cui mi accingo a risolvere l'equazione di Schroedinger per
> l'idrogeno, devo quantomeno ipotizzare che la soluzione sia a variabili
> separabili. E' possibile ricavare questo risultato a priori? Piy
> precisamente: l'operatore Lz e l'operatore L^2 commutano con l'Hamiltoniano,
> e questo ci fa ben sperare; ma h sufficiente questo fatto per arrivare a
> dire che essi hanno le medesime autofunzioni di H (e quindi concludere che
> la psi fattorizzi, nell'ottica che tali operatori sono funzioni il primo
> della sola fi, il secondo della fi e della teta (in coordinate sferiche)).
> In altre parole: h elementare dimostrare che se due operatori A e B hanno le
> stesse autofunzioni, essi commutano. L'inverso non riesco a dimostrarlo,
> percir mi chiedo: l'inverso h vero in generale oppure no? Ringrazio
> dell'attenzione concessami, sperando in una vostra risposta.

Sei partito da una domanda di FIsica e ei fiito ad una di Geometria! :-)

E' proprio cosl: se due operatori normali commutano hanno gli stessi autovettori, e
viceversa; un operatore h normale se commuta con il proprio aggiunto, quindi sia
gli operatori unitari (in cui l'aggiunto coincide con l'inverso) sia quelli
autoaggiunti (o hermitiani, che coincidono con i propri aggiunti e sui quali si
basano gli osservabili della meccanica) sono normali.

Per sommi capi, se due operatori commutano, nella base in cui il primo (A) h
diagonale il secondo sar` diagonalizzato a blocchi, con i blocchi corrispondenti ad
autovettori dello stesso autovalore di A (cioh ad un autovalore a di A degenere di
ordine n corrisponde un blocco n x n in B): questo lo ricavi rirettamente dalla
condizione di commutazione (assieme alla diagonalit` di A). Ora diagonalizzi anche
i blocchi di B (troverai una nuova base per ogni blocco, ma anche per questa A sar`
ancora diagonale, poichi in corrispondenza del blocco c'era un solo autovalore,
cioh una matrice identit` per quell'autovalore).

Bene, ti ho dimostrato, se non altro, che sono un cane a spiegare (comunque prova a
seguire con carta e penna).

-- 
Hamlet
Received on Sun May 16 1999 - 00:00:00 CEST

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