On 23 Apr 1999 18:43:30 +0200, "Silvia Fais" <silfais_at_tin.it> wrote:
>
>Sto preparando l'esame di Meccanica razionale
>e non riesco a trovare una dimostrazione chiara
>del teorema di Dirichlet-Lagrange sulla stabilit� ( " per un sistema olonomo
>conservativo a vincoli perfetti e
> indipendenti dal tempo, condizione sufficiente
>affinch� una configurazione sia di equilibrio stabile secondo Liapounov �
>che in essa l'energia potenziale abbia un minimo relativo proprio ").
>
>Mi potete aiutare?
Guarda io so la dimostrazione nelle seguenti ipotesi:
Sia S un sistema olonomo con vincoli fissi e lisci a cui siano
applicate solo forze attive conservative posizionale e dissipative.
Sia qe una cfg di equilibrio minimo proprio per l'energia potenziale e
vi sia tutta la regolarit� che serve per le funzioni che si prendono
in considerazione.
Allora qe risulta una configurazione di equilibrio stabile, nel senso
che ye=(qe,dqe/dt) � stabile per la definizione data sullo spazio
delle fasi (la def � quella degli intorni e delle triettorie nello
spazio delle fasi)
Vediamo cosa riusciamo a fare...io te la dico a grandi linee...
Ah, poich� non posso indicare i vettori, diciamo subito che dove si
parla di coordinate libere q,qe, etc. si intendono vettori di R^k con
k numero di coordinate libere, mentre gli elementi dello spazio delle
fasi y,ye,yo etc. sono vettori di R^2k
dim:
Diciamo qe la cfg di equilibrio...
qe � per ipotesi un minimo per V (energia potenziale).
L'energia cinetica in caso di vincoli lisci e fissi risulta una forma
quadratica definita positiva...Nella cfg di equilibrio K vale 0.
Diciamo ye=(qe, dqe/dt)
posto H=K+V
ye risulta minimo proprio per H
Supponiamo ora che H sia regolare quanto basta.
Poich� abbiamo forze dissipative applicate al sistema, presa una
qualunque traiettoria nello spazio delle fasi, avremo che dH/dt<=0
(con H calcolata chiaramente sulla traiettoria 8-) )
Per ora abbiamo:
a) H � regolare
b) dH/dt <=0;
c) ye � minimo proprio per H
A questo punto entra in gioco uno dei teoremi di Liapunov che dice:
Supponiamo di avere un sistema autonomo
dy/dt=F(y) et y(0)=yo
e sia F regolare e F(ye)=0
Se esite un intorno I e una funzione H (di liapunov) che gode delle
propriet� a),b),c) allora ye � stabile nel senso della definizione.
dimostrando il teorema di liapunov risulta dimostrato il criterio di
dirichlet. Vediamo quel che si pu� fare:
dim:
1) dalla c) segue che esiste un intorno I* tale che, per ogni y
appartenente a I* si ha H(ye)<H(y).
Senza perdere in generalit� diciamo che H(ye) = 0.
2) Sia ora, per ogni e>0, Se={y: d(y,ye)=e}
(con d(y,ye) intendo la norma) e diciamo E(e)=minH su Se.
Questo minimo sicuramente esiste poich� H e regolare ed � definita su
un compatto (Se). Diciamo che vogliamo Se contenuto in I*. Possiamo
sempre farlo.
3) H abbiamo detto � regolare per la b) , dunque vale che
lim H(y)=H(ye)
y->ye
dunque dalla def di limite
per ogni E(e)>0 esiste un Bd={y: d(y,ye)<d} tale che, per ogni y
appartenente a Bd risulta abs(H(y)-H(ye))=H(y)<E(e)/2
4) adesso vogliamo dimostrare che per ogni yo contenuto in Bd, la
traiettoria uscente da yo e che � data dal sistema autonomo, non esce
da Se e duqnue da I*. Dimostriamolo per assurdo:
supponiamo per assurdo che la traiettoria uscente da yo esca da I*,
allora signica che, poich� le soluzioni del sistema autonomo sono
funzioni continue, esister� un y* appartenente a Se intersecato con
la traiettoria.
In questo y* avremo che H(y*) >= E(e) . Ma d'altronde, per la b),
H(y*)<H(y) questo implica che H(y) > E(e) e questo � assurdo, se
guardi la 3). Dunque
Dato I* si trova un Bd che soddisfa la definizione di stabilit�
Infine abbiamo dimostrato il criterio di dirichlet, poich� ye, e
quindi qe, � una posizione di equilibrio stabile.
>Ciao e grazie.
Ciao e 73-51 de Tartaruga .
.oO-=> TARTARUGA (* Gabriele *) <=-Oo.
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Received on Sun Apr 25 1999 - 00:00:00 CEST