Re: Eq. di Schroedinger unidimensionale ( buca di potenziale )

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/03/30

C. G. Di Stefano wrote:
>
> Salve,
> vi sottopongo un quesito al quale non sono riuscito a darmi una spiegazione.
> Nel risolvere l'eq. di Schroedinger unidimensionale ( buca di potenziale ),
> dopo averla risolta nelle tre regioni ( x<0 con U=0;
> 0<=x<=L con U=-U0 ; x>L con U=0 ) ed imposto la continuita' al contorno
> ovvero eguagliate le funzioni trovate nelle tre regioni per i valori al
> contorno x=0 ed x=L ) , PERCHE' bisogna imporre anche l'eguaglianza delle
> derivate prime ????
> Cosa significa fisicamente ?
>
> Grazie
>
> C. G. Di Stefano


Il tuo e' un questito sul quale si sorvola spesso in fisica.
La risposta e' *completamente matematica* ed anche un po' tecnica.

Tu stai cercando le autofunzioni di un certo operatore che e'
l'hamiltoniano. Come ben sai la meccanica quantistica assume che tali
operatori siano *autoaggiunti* per poter usare il teorema spettrale
(e dare un significato fisico alla teoria).

L'hamiltoniano che stai usando (laplaciano piu' potenziale) NON e'
autoaggiunto (per esempio sulle funzioni Cinfinito a supporto compatto),
ma lo e' il suo aggiunto (si dice tecnicamente che
l'hamiltoniano e' "essenzialmente autoaggiunto"). Quindi l'equazione
agli autovalori andrebbe risolta non per l'hamiltoniano laplaciano
+ potenziale, ma per il suo aggiunto. La condizione di continuita'
delle derivate prime sui salti del potenziale e' proprio una delle
condizioni matematiche che dice che la funzione che stai studiando
e' autofunzione dell'aggiunto dell'operatore laplaciano + potenziale.

Se ti interessano queste questioni, puoi trovare un po' di buona
matematica sull'equazione di Schroedinger sul Caldirola-Cirelli-Prosperi
"Introduzione alla fisica teorica" UTET.

Ciao, Valter Moretti
      Dipartimento di Matematica
      Universita' di Trento
Received on Tue Mar 30 1999 - 00:00:00 CEST