Re: x Elio Fabbri su Black Holes

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1999/04/01

Valter ha scritto:
> Ciao, Elio non si vede, allora ti rispondo io.
Non mi vedo, pero' sento :-))
Vero: sono stato "fuori servizio" per un bel po' di tempo. Ora va appena
un po' meglio, e cerchero' di riprendere il filo.
Ho un sacco di risposte da dare, anche a domande "vecchie". Ci provero',
con calma...
Per cominciare, avrei qualcosa da dire sul quesito di Luciano Bruno, e
sulla tua risposta.

Luciano bruno scriveva:
> Supponendo un oggetto in caduta libera da distanza infinita verso il
> centro di un black hole, una volta che questo ha superato l'orizzonte
> degli eventi, come puo' essere definita la sua velocita' di caduta?
> L'oggetto continua ad accelerare e supera "c"?
> Naturalmente nulla puo' essere visto dall'esterno, ma cosa vede (o come
> puo' misurare il proprio moto) un osservatore solidale con l'oggetto in
> caduta?

e Valter ha risposto:
> Allora, in RG per dare senso al concetto di velocita' in modo sensato
> si procede come segue. Si prende un sistema di riferimento localmente
> inerziale (omino in caduta libera) che passa vicinissimo all'oggetto
> di cui si vuole misurare la velocita' (MA NON E' NECESSARIAMENTE
> IN QUIETE CON ESSO) e nel suo spazio di quiete (quello dell'omino)
> e con il suo orologio, si calcola la velocita' nel solito modo.
> Con QUESTA definizione viene fuori che la velocita' della luce
> non si puo' superare nemmeno in RG.
> ...
> Nel caso del corpo in caduta nel buco nero non succede niente di
> speciale, la velocita' definita in questo modo e' sempre minore di c,
> fuori, sopra ed oltre l'orizzonte degli eventi!

Vediamo.
Prima di tutto, suppongo che Luciano sappia (implicitamente) che per
parlare di velocita' bisogna sempre riferirla a qualcosa. Quando scrive
> come puo' essere definita la sua velocita' di caduta?
immagino che pensi di riferire la caduta a qualcosa che sta "fermo".

Esempio: piazzo un'astronave ferma rispetto al Sole (non in orbita:
proprio ferma, il che e' possibile se si tengono accesi i motori per
compensare l'attrazione del Sole). Vedo passare un oggetto che cade, e
con i miei strumenti misuro lo spazio che percorre in un certo tempo,
ecc.
Nota, Valter, che l'astronave non e' un rif. in caduta libera: non mi
pare necessario, per definire una velocita', impiegare un rif. loc.
inerziale.

Se ripeto questa procedura a varie distanze dal buco nero (sorvolando
sui razzi che ci vorrebbero per tener ferma l'astronave, sulle forze di
marea, ecc.) trovero' che la velocita' del corpo che cade venendo
dall'infinito vale 1/sqrt(r) dove r e' la coordinata radiale di
Schwarzschild, che a grande distanza dall'orizzonte coincide con la
solita r, ma vicino all'orizzonte va definita bene, perche' la geometria
spaziale li' si guarda bene dall'essere euclidea.
(Nota: prendo c=1 e normalizzo le distanze in modo che sia r=1
all'orizzonte.
Questo vuol dire che per es. per un buco nero con la massa del Sole
adotto come unita' di lunghezza 3 km.)

Ma Luciano vuol sapere che succede se ripeto la misura *dentro* il buco
nero...
Ed ecco la sorpresa (una cosa che raramente viene detta nei libri
divulgativi). *Non e' possibile stare fermi* dentro l'orizzonte. La piu'
potente astronave di qualsiasi futuro (se la RG e' giusta) non ce la fa:
e' destinata a cadere verso il centro.
Percio' ha poco senso domandarsi quale sara' la velocita' dell'oggetto
che cade, perche' non ci sono riferimenti fissi per misurarla...
Pero' l'oggetto che cade puo' essere un orologio, e ci si puo' chiedere
che tempo segna mentre cade. La risposta e' semplice: da un certo r fino
alla fine della caduta, l'orologio segna un tempo (2/3)*r^(3/2).
Tradotto nelle solite unita', per un buco nero di massa uguale al Sole,
il tempo dall'orizzonte al centro sara' un po' meno di 7 microsecondi.

Si potrebbe allora dire che la vel. media e' (3 km)/(7 us)? Neanche per
sogno, perche' il "raggio" dell'orizzonte *non e'* una distanza!
Se questo suona come un rompicapo, non so che farci: i buchi neri (se
esistono) sono fatti cosi'!
Posso aggravare la situazione dicendo che la r dentro l'orizzonte e' una
coordinata temporale, il che implica che la geometria (visto che la
metrica dipende da r) *non e' statica*, mentre fuori lo e'.
Percio' scrivere
> Nel caso del corpo in caduta nel buco nero non succede niente di
> speciale, la velocita' definita in questo modo e' sempre minore di c,
> fuori, sopra ed oltre l'orizzonte degli eventi!
mi sembra che semplifichi un po' troppo le cose.
Quello che scrive Valter e' vero, ma e' anche vero che qualsiasi
possibile riferimento rispetto al quale misurare la velocita' cade
anch'esso inesorabilmente verso il centro...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

Received on Thu Apr 01 1999 - 00:00:00 CEST