On 3 Mar 1999 22:14:26 +0100, "Danilo Tardioli" <kiwin_at_usa.net> wrote:
>Salve a tutti,
>avrei una domanda da porre:
Uhm...
Sono anch'io uno studente, e non ho ancora dato l'esame di Fisica 1
(qua da noi e' annuale)... In ogni caso provo ad aiutarti, e lo faccio
sul newsgroup. Al massimo mi becchero' un bel "ma datti all'ippica!"
da qualche voce autorevole, e capiro' di aver sbagliato facolta'. ;-)
>supponiamo di avere un pendolo costituito da un filo di lunghezza l e un
>oggetto di massa M appeso alla sua estremit� in quiete;
>un proiettile di massa m che viaggia con velocit� v perpendicolare al filo
>colpisce il pendolo e "buca" la massa appesa al filo continuando poi la sua
>marcia a velocit� v/2.
>Vorrei sapere che velocit� v � necessaria per far compiere al pendolo una
>rotazione completa.
>Il mio ragionamento si � basato sul fatto che nell'urto vale la
>conservazione della quantit� di moto e poi quindi una volta trovata la
>velocit� V di "partenza" del pendolo tramite la conservazione dell'energia
>meccanica mi calcolo v in funzione del dislivello che la massa appesa al filo dovr� avere
>per fare un giro completo (e cio� 2l)
>E' esatto questo ragionamento?
In linea di massima direi di si', o piuttosto lo spero, dato che
fondamentalmente e' la stessa strada che ho pensato di seguire mentre
leggevo il problema. :-)
Bisogna pero' stare attenti a due cose (magari ci hai gia' pensato, ma
dato che non le hai scritte te le segnalo per sicurezza).
Innanzitutto, la velocita' che trovi non permette al pendolo di fare
un giro completo, bensi' di compiere MEZZO giro, e poi rimanere in
equlibrio (instabile, ma pur sempre equilibrio) sulla verticale.
Per permettergli fare un giro completo, la velocita' deve essere
strettamente maggiore del valore ricavato.
Questo se il vincolo del pendolo non e' un filo, ma un'asta rigida di
massa trascurabile.
Se invece la massa del nostro pendolo e' proprio appesa a un filo, la
condizione di sopra e' necessaria (la massa cadrebbe lungo la
verticale una volta raggiunta la massima altezza) ma non sufficiente;
infatti, mentre costruendo il pendolo con un asta rigida si vincola il
corpo a muoversi lungo una circonferenza, facendolo con un filo il
moto e' vincolato all'interno di un cerchio, e la reazione vincolare
puo' essere soltanto centripeta.
Perche' la massa appesa a un filo descriva un cerchio, dobbiamo avere
che in ogni istante del moto (o in ogni punto) la risultante delle
forze applicate alla massa induca su questa un'accelerazione la cui
componente in direzione massa - centro di rotazione sia proprio
l'accelerazione centripeta del moto circolare.
Le forze agenti sulla nostra massa sono la forza peso (costante) e la
tensione del filo (variabile). La tensione e' sempre e solo
centripeta. Questo va benissimo finche' la massa non si sposta lungo
la circonferenza di piu' di 90� dal punto di partenza (o non si e'
spostata verso l'alto di piu' di l, o sta nella "meta' di sotto" della
circonferenza in questione; spero di essermi fatto capire, mi sto
accorgendo di essere anche piu' involuto del solito, e non posso fare
qui disegnini ben piu' eloquenti di me), ma quando invece questa viene
a trovarsi sopra il punto di sospensione del filo, la forza peso e'
concorde alla tensione invece di opporvisi; cioe' la sua componente
parallela al filo e' centripeta invece che centrifuga come era prima.
Potrebbe anche darsi (e SUCCEDE, nel caso della velocita' trovata
sopra) che ad un certo puto questo "contributo" della forza peso
imprima alla massa un'accelerazione centripeta superiore a quella
necessaria per farla muovere di moto circolare, di fatto facendola
deviare verso l'interno del cerchio.
Siccome sappiamo che la velocita' della massa e' minima nel punto di
massima altezza della traiettoria, e che la componente centripeta
della forza peso e' massima nel punto di massima altezza della
circonferenza che vogliamo fare descrivere alla massa, bastera' porre
che la velocita' della massa in quel punto sia maggiore o uguale alla
velocita' tangenziale di un corpo che si muove di moto circolare
uniforme lungo una circonferenza di raggio l e con accelerazione
centripeta g, per essere sicuri che il corpo descriva una traiettoria
circolare (semplicemente per la proprieta' transitiva delle relazioni
d'ordine).
Applicando la conservazione dell'energia meccanica con questa come
"velocita finale", dovresti riuscire a risolvere il problema con lo
stesso metodo di sopra (se puo' servire, a me la minima "velocita' di
partenza" del pendolo necessaria risulta (5*g*l)^1/2 ).
Brrr...
Spero di essermi fatto capire e di non aver detto troppe castronerie
(che tutti i presenti sono caldamente invitati a correggere).
>Altra domanda:
>Quando il proiettile colpisce il pendolo, la velocit� che gli imprime �
>tangente alla traiettoria del pendolo e quindi se la massa fosse svincolata
>assumerebbe una velocit� u parallela a v; e di modulo |u|
>nel mio caso invece necessariamente la velocit� ha direzione variabile e
>tangente alla traiettoria, ma il modulo � sempre |u| e � uguale alla
>velocit� angolare moltiplicata per l?
Il modulo della velocita' e' variabile ed uguale a quello della
velocita' angolare moltiplicato per quello di l...
... o almeno cosi' mi pare. :)
(ovviamente, con il metodo risolutivo che abbiamo applicato entrambi,
tra le due velocita' e' quella tangenziale ad essere la "variabile
indipendente"... Ma la relazione matematica vale comunque, scirtta in
entrambi i modi.)
Ciao,
Paolo.
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Received on Fri Mar 05 1999 - 00:00:00 CET