rizza_at_csnsm.in2p3.fr wrote:
>
> Ciao a tutti, La mia domanda e' la seguente: Perturbo un atomo fornendogli
> una certa energia L'Hamiltoniana (Ho) del sistema viene modificata dalla
> perturbazione(H1=Ho+H') ed il sistema (in questo caso un elettrone) puo'
> passare (se l'energia e' sufficiente) da un autostato ad un altro. Visto che
> ad un elettrone, descritto da un'autofunzione, e' associata una distribuzione
> spaziale (distribuzione di densita') e visto anche che due autostati
> differenti presentano funzioni d'onda differenti, qual'e' il processo magico
> (NON CONTINUO) che trasforma una distribuzione di densit� in un'altra?
>
> In parole povere dove se ne sta l'elettrone durante il passaggio da
> un autostato ad un altro visto che ogni stato intermedio non e' concesso???
Se Ho e' l'Hamiltoniana del sistema senza perturbazione, ci sara'
un'infinita' discreta di autostati descritti da autofunzioni F(n,x) di
Ho ad energia E(n) (dove n=0,1,2... e' l'indice dell'autostato).
Un qualsiasi stato dell'elettrone puo' essere descritto come
combinazione lineare delle autofunzioni (che devono costituire un
insieme O.N.C. su uno spazio di Hilbert) cioe' in generale la fnz.
d'onda di un elettrone nel campo del nucleo sara' data da:
g(x)=c0*F(0,x)+c1*F(1,x)+...+ck*F(k,x)+...
dove i coefficienti c0, c1,... sono intimamente legati con la
probabilita' di trovare l'elettrone sul livello n-esimo....
Nel caso particolare in cui l'elettrone sia nello stato fondamentale
avremo:
c0=1 e c1=c2=...=ck=...=0
(Nota: in realta' il valore effettivo di c0 dipende dalla
normalizzazione delle F, ma per semplicita' lo assumo le F normalizzate
a 1)
Quindi per l'e- sullo stato fondamentale (GS) avro' g(x)=F(1,x)
Analogamente per ogni altro stato puro.
L'interazione che fa transire da uno stato all'altro sara' in generale
dipendente dal tempo nel senso che si accendera', si spegnera' e alla
fine avremo che il nostro elettrone a fatto la sua transizione allo
stato 1 (x esempio).
Se l'interazione ha luogo tra gli istanti t1 e t2, avremo un
'Hamiltoniana:
H=Ho+H'(t)
dove H'(t) e' l'Hamiltoniana che descrive l'interazione ed e' tale che
H(t)=0 per t>t2 e per t<t1.
In questo modo prima di t1 e dopo t2 ho di nuovo l'Hamiltonian
imperturbata.
A questo punto (ponendoci in una trattazione a 2 soli livelli x
semplicita' ma senz aperdere in generalita') abbiamo che la nostra
funzione d'onda, usando l'eq di Schrodinger con la Hamiltoniana
perturbata, sara' sviluppabile negli autostati dell'Hamiltoniana Ho, ma
i coefficienti c1,c2 dipenderanno dal tempo (perche dipende dal tempo
anche H. Cioe' la soluzione sara':
g(x)=c0(t)*F(0,x)+c1(t)*F(1,x) (+... se vogliamo la trattazione a piu'
livelli)
dove c0(t)=1 per t<t1 (cioe' prima di accendere l'interazione) e c0(t)=0
per t>t2 (cioe' quando ormai l'elettrone e' passato sul livello 1).
Analogamente sara': c1(t)=0 per t<t1 e c1(t)=1 per t>t2.
Con queste condizioni ci garantiamo che prima dell'interazione siamo
sullo stato fondamentale e dopo l'interazione siamo sul primo stato
eccitato.
Per quello che riguarda quello che accade durante la transizione
[t1<t<t2], possiamo dire che la forma esplicita dei coefficienti c0(t) e
c1(t) dipende dalla forma dell'H'(t). In ogni caso, ad ogni istante t la
probabilita' di trovare l'e- sul uno dei livelli 0 o 1 (o tutti quelli
che ho considerato in generale) e proporzionale al |c0(t)|^2 e
|c1(t)|^2.
Questo significa che durante la transizione (che comunque avviene in
modo continuo perche se H'(t) non e' particolarmente patologica) le
ck(t) saranno funzioni analitiche in t e tali che |c0(t)|^2+|c1(t)|^2=1
(conservazione della probabilita' ad ogni istante t, anche durante la
transizione).
Pertanto se eseguo una misura durante la transizione avro' una certa
probabilita' di trovare l'e- sul livello 0 e una certa probabilita' di
troavrla sul livello 1.
In pratica il processo NON e' MAGICO ed e' CONTINUO semplicemente
durante la transizione cambia (in modo continuo) la probabilita' di
trovare l'elettrone nello stato 0 e nello stato 1.
In pratica se prendo 100 atomi uguali che cominciano la transizione a t1
e misuro lo stato in cui si trova e- ad un medesimo tempo t3 durante la
transizione, scoprioro' che 30 saranno ancora nello stato E(0) e 70
nello stato E(1).
E piu' t3 e' vicino a t2 piu' e facile che aumenti il numero di quelli
nello stato E(1), cosi' come per t3 -> t1 avro' che saranno di piu'
quelli nello stato fondamentale E(0).
Ribadisco che le modalita' effettive di transizione dipendono dalla
forma esplicita dei ck(t), ovvero dalla forma di H'(t).
Non so se sono stato chiaro e convincente ma le cose credo che stiano
piu' o meno cosi'
Saluti.
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Alex ORLANDI
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Received on Fri Mar 05 1999 - 00:00:00 CET