Giorgio Pastore ha scritto:
> Non so se qualcuno l'abbia fatto in questo contesto ma il problema
> delle coordinate polari (o degli angoli di eulero in 3D) è un
> problema pratico importante per chi vuole simulare il comportamento
> di una molecola rigida. Negli studi di simulazione la soluzione è
> stata non quella di passare ad atlanti di carte diverse, ma di
> utilizzare coordinate diverse dagli angoli di Eulero: i quaternioni
> (cfr. p.es. Goldstein).
Mi sembrano due problemi diversi.
La soluzione carte-atlante serve a dare una definizione non ambigua
della varietà. Per es. a individuare la topologia in grande (semplice
connessione o altro).
Per i calcoli mi sembra alquanto scomoda.
Quello che dici sui quaternioni mi riesce nuovo e non ho ritrovato il
riferimento nel Goldstein (suppongo "Meccanica classica").
Però la mia è l'ed. italiana, datata 1971 e condotta credo sulla
seconda ed. inglese del 1965. Riporta ancora la prefazione del 1950.
Sono pressoché sicuro che ci sono state altre edizioni.
Ha riletto il capitolo sulla cinematica dei corpi rigidi, ma non si
parla di quaternioni.
Invece si diffonde a lungo su quelli che chiama "parametri di
Cayley-Klein".
È chiaro che a quei tempi Goldstein non sapeva niente di teoria dei
gruppi, altrimenti avrebbe scritto che quello che sta facendo è
presentare l'omomrfismo di SU(2) su SO(3).
La cosa non mi stupisce: nel 1950 neppure io sapevo niente di
toeria dei gruppi, di rappresentazioni di un gruppo su uno spazio di
Hilbert, ecc. Come la maggior parte dei fisici teorici...
Nel 1965 però avevo imparato (e insegnato) un bel po' di cose...
C'è pure qualcosa che ritengo sia un grossolano errore di traduzione:
quando introduce l'algebra di Pauli come spazio su cui agisce una
rappr. di SU(2), usa l'espressione
"queste tre matrici insieme con la matrice unità formano un gruppo di 4
matrici indipendenti"
Dove colpisce la parola "gruppo": chi l'ha scrittta non sapeva che si
tratta di un termine matematico con un significato ben preciso, che non
si applica in questo caso.
Avrebbe dovuto dire formano una base nello spazio vettoriale 4D sui
reali formato dalle matrici hermitiane 2x2.
A parte questo, i parametri di Cayley-Klein sono 4: Goldstein ne
scrive l'espressione in funzione degli angoli di Eulero, ma non dice
come si risolve la ridondanza.
È poi umoristica la frase in cui dice che la corrispondenza
SU(2)-SO(3) non ha particolare significato fisico, e che lo spazio C^2
su cui agiscono le matrici di SU(2) è stato molto studiato dai
matematici e denominato "spazio degli spinori" (dai matematici!).
Insomma, trovo quella sezione parecchio insoddisfacente per gli
standard di oggi.
Ora mi dirai che in un'edizione più recente del Goldstein è tutto
diverso e che quindi ho fatto una fatica inutile...
Resto però in attesa di capire come entrano i quaternioni e come
risolvono (se lo risolvono) il problema di caratterizzare come
coordinate lo spazio delle configurazioni di un corpo rigido con un
punto fisso come varietà 3D.
> Io mi accontenterei di capire meglio cosa può essere definito rif.
> rotante e cosa no.
> Un disco di raggio limitato lo è? fino a che valore del raggio?
A questo, come alle domande di Alberto e altri, non so rispondere.
E a essere sincero non credo che - a 118 anni dalla RR - la risposta
sia nota.
--
Elio Fabri
Received on Wed May 31 2023 - 16:49:49 CEST