Re: Domanda: moto rotatorio

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1999/02/01

Daniele ha scritto:
> Sono uno studente universitario e in questo periodo sto preparando l'esame
> di meccanica razionale e sto approfondendo un argomento: il moto rotatorio
> di un corpo assialsimmetrico senza momenti applicati.
> Il libro sul quale sto studiando descrive questo moto utilizzando due coni
> ideali che si vengono a formare rispettivamente tra i vettore della
> velocita' angolare e quello del momento della quantita' di moto (space cone)
> e tra il vettore della velocita' angolare e il versore che individua l'asse
> di simmetria del corpo (body cone). Questi due coni durante la rotazione
> rotolano uno sull'altro senza strisciare.
> Cio' che non riesco a spiegarmi e' il modo in cui questi due coni si vengono
> a formare durante la rotazione.
I coni di cui parli si chiamano coni di Poinsot. Non e' facile
rispondere
senza sapere che cosa gia' sai, qual e' il libro che studi.
Provo a partire da due punti:

1) le equazioni di Eulero
A dp/dt = (B-C)qr dove A,B,C sono i momenti princ. d'inerzia
B dq/dt = (C-A)pr p,q,r, le componenti della vel. angolare rispetto
C dr/dt = (A-B)pq alla terna princ. d'inerzia.
Queste valgono per un corpo rigido qualsiasi, ma nel tuo caso A=B e
percio'
dr/dt = 0.
Inoltre p dp/dt + q dq/dt + r dr/dt = 0 (si verifica subito).
Dunque p^2 + q^2 + r^2 e' costante, ossia e' costante il modulo della
vel.
angolare; ma e' anche costante la sua componente r rispetto all'asse di
simmetria, quindi e' costante l'angolo fra vel. angolare e asse di
simmetria.
Ecco da dove nasce il primo cono.

2) Le componenti del momento angolare sono Ap, Bq, Cr e il suo prodotto
scalare con la vel. angolare e' Ap^2 + Bq^2 + Cr^2, ossia il doppio
dell'energia cinetica, che e' costante.
Ma il vettore mom. angolare e' fisso nello spazio e ha modulo costante;
anche
il modulo della vel. angolare e' costante, quindi se e' costante il
prodotto
scalare e' costante anche il loro angolo: ecco il secondo cono.

I due coni si toccano lungo la retta che contiene la vel. angolare, per
costruzione (nota che asse di simmetria, vel. angolare e mom. angolare
sono
complanari, come si vede dalle componenti).
Questa retta e' l'asse istantaneo di rotazione, che per definizione
consiste
di punti di velocita' nulla. Dunque il primo cono, che e' solidale al
corpo,
rotola senza strisciare sul secondo, che e' fisso nello spazio.

Sapevi che questo succede anche per la Terra?
L'asse istantaneo di rotazione (asse polare) non coincide con l'asse di
simmetria (approssimata) della Terra. Le due rette divergono di una
decina di metri alla superficie terrestre, e il polo gira intorno
all'asse della Terra, facendo un giro in poco piu' di un anno.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Mon Feb 01 1999 - 00:00:00 CET