Il 12/06/23 10:22, Elio Fabri ha scritto:
....
> In materia di spazio-tempo, la gearchia di strutture rilevante è:
> - spazio topologico
> - varietà topologica
> - varietà differenziabile
> - varietà (semi)riemanniana.
> Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
> presupposta quando si passa dall'alto al basso.
>
> In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
> approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
> "Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
> C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
> bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
> struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
> Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
> anni fa:
> ("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
> AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
> http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
> Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
> si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
...
Anche se poi ti concentri sull' altro punto, questo forse meriterebbe un
commento di approfondimento.
Resta vero che il linguaggio della fisica è matematico. Ma, rispetto ai
tempi di Galilei, forse diventa necessario dire qualcosa di più su
questa relazione tra fisica e matematica, anzi, forse occorrerebbe dire
matematiche. E qui i discorso sui reali e sul numero finito di punti può
essere fatto in modo più completo di quanto fosse possibie farlo nel
'600 (periodo precedente di molto l'elaborazione ottocentesca delle
proprietà dei reali).
Un punto poco apprezzato nella didattica e di conseguenza nell'
immaginario di ci ha avuto una formazione sulla fisica e sui modelli
matematici della stessa è come non necessariamente quello che è utile
per fare matematica in modo semplice è anche il modelo più fedele della
realtà. Una superficie di un solido reale a livello atomico perde le
proprietà di una superficie geometrica ideale. Questo è quasi banale.
Quello che trovo molto meno banale è il fatto che un modelo continuo
possa dare una ragionevole descrizione di una superficie di un
materiale, alla giusta scala. E gli esempi potrebbero diventare
rapidamente meno semplici. La meccanica statistica permette di
riprodurre le proprietà di un sistema termodinamico solo al limite di
infiniti gradi di libertà, pur non esistemdo un solido con infiniti
atomi. Gli stati elettronici di un cristallo possono essere classificati
a partire dalle rappresentazioni irriducibili del gruppo spaziale delle
traslazioni, anche se nessun cristallo finito dotato di superficie ha ua
struttura davvero invariante per traslazione. E gli esempi potrebbero
continuare.
Quello che fa funzionar tutto è la ppossibiità di vedere i modelli
analitici regolari come opportune approssimazioni di modelli meno
regolari. E' un po' l'inverso di come si presentano normalmente le cose:
un integrale numerico viene visto come un'approssimazione del concetto
analitico di integrale. Le cose possono invece funzionare in senso
inverso: un integrale analitico può esser visto come un modo di
approssimare una somma finita.
E per tornare all' argomento da cui questa discussione è partita, un
modello continuo di spazio-tempo può costituire un'utile semplificazione
per qualcosa di più complicato ma di cui non abbiamo ancora sufficiente
evidenza diretta.
Giorgio
Received on Mon Jun 12 2023 - 19:02:03 CEST