Densita' della Lagrangiana

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1998/10/25

Malmsteen ha scritto:
> Studiando la fisica delle particelle ho incontrato il concetto di
> densita' della Lagrangiana che non mi risulata chiaro.
> Qualcuno e' in grado di chiarirmelo e spiegarmi anche la sua importanza
> in teorie di gauge come l'elettrodinamica quantisitica?
E' passato un po' di tempo, ma non mi pare che qualcuno ti abbia
risposto.
Forse perche' la domanda e' un po' strana.
Infatti per poter fare una domanda del genere devi essere abbastanza
avanti nello studio della fisica teorica; ma se sei a questo punto, come
mai non vedi chiaro che ruolo ha la densita' lagrangiana?
Pero' potrei fare una congettura, che tu potrai confermare o smentire:
forse oggi questi argomenti vengono presentati un po' in fretta, senza
dare spazio agli antecedenti storici e concettuali.
Se e' questo il caso, qualcosa posso dirti (se no, ti dico cose ovvie,
ma che forse possono risucire utili a qualcun altro...)

Partiamo da un sistema meccanico composto da tante palline con molle
interposte, lungo una retta

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Questo sistema puo' essere studiato coi metodi della meccanica
analitica, scrivendo una lagrangiana, che e' come al solito L = T - V,
dove tanto l'energia cinetica T quanto l'en. potenziale V risultano
essere la somma di tanti termini, uno per ciascuna molla o pallina.

Il passo successivo e' un sistema continuo unidimensionale (una corda).
In questo caso tanto la massa quanto l'elasticita' sono distribuite con
continuita', per cui alla somma di prima si sostituisce un integrale
sulla coordinata x. E qui gia' nasce la prima "densita' lagrangiana",
che e' qualcosa come una "lagrangiana per unita' di lunghezza" (cosa che
ha senso appunto perche' la lagrangiana totale e' additiva.
Nota che ora le variabili da cui la densita' lagrangiana dipende sono lo
spostamento y(x) del generico punto della corda, e la sua derivata
rispetto al tempo; ma y(x) non figura direttamente nell'en. potenziale,
bensi' attraverso la sua derivata prima rispetto a x.

E ora possiamo fare il salto a un sistema continuo tridimensionale, che
puo' essere (e' il caso per noi interessante) un campo: per es. il campo
e.m. Non cambia molto, se non che ora l'integrale e' triplo.
Pero' a questo punto ci ricordiamo di due cose:
1) che la lagrangiana entra nell'azione di Hamilton-Jacobi, che e'
l'integrale di L rispetto al tempo, e quindi e' l'integrale della
densita' lagrangiana su tutte e 4 le coordinate t, x, y, z
2) che l'invarianza relativistica richiede che l'azione sia invariante,
e quindi lo deve essere pure la densita'.

Da qui in poi, tutte le possibili teorie di campo (QED, ma anche QCD,
ecc.) differiscono solo per quali campi figurano nella dens. lagr. e per
la forma che questa assume, spec. nella parte d'interazione di cui non
ho parlato per brevita'.
Il fatto che in tutti i casi la dens. lagr. sia espressa mediante i
campi o le loro derivate prime, e che l'azione sia un integrale 4-dim.
della dens. lagr., caratterizza queste teorie come *locali*.
In una teoria non locale potrebbero esserci interazioni fra campi in
punti distanti dello spazio-tempo, e allora l'azione non sarebbe
l'integrale di una densita' locale.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Sun Oct 25 1998 - 00:00:00 CEST