aiuto: spazio L^2 e suo duale

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/09/17

Guido Aversano wrote:
>
> On 15 Sep 1998 12:05:34 +0200, Valter Moretti
> <moretti_at_science.unitn.it> wrote:
>
> >>
> >> Lo spazio di Hilbert L^2 e il suo spazio duale sono o non sono
> >> isomorfi?
> >
> >Sono isomorfi
> >
> > Il funzionale che citi non ammette rappresentazioni come elemento
> > del duale PERCHE' E' UN FUNZIONALE NON LIMITATO e nel duale si
> > rappresentano solo i funzionali limitati.
> >
> > Nel caso in esame se per definire l'integrale di Fourier usi
> > l'esponenziale exp{ikx}, allora considera la classe di funzioni
> > (n=0,1,2....) di L^2(R)
> >
> ....
> >
> > Questo prova che il funzionale non e' limitato e fine della
> > discussione.
>
> Grazie per la spiegazione, e' stata chiarissima... Mi e' stato anche
> suggerito (nel gruppo it.scienza.matematica) che i funzionali
> rappresentati nel duale devono essere continui e che quello da me
> scritto non e' continuo.
>
> >. Il funzionale che dici non e'
> > nemmeno definito in quanto la trasformata di Fourier non e'
> > definita su L^2, ma devi estenderla in quella di Fourier-Plancherel.
>
> Questo lo sapevo :)

Si, pero' non ho capito se ti sia chiaro il punto centrale,
se invece ti e' chiaro scusami :-), ma preferisco ripeterlo.

la trasformazione di Fourier manda funzioni in funzioni
(per esempio funzioni dello spazio delle funzioni C^infinito a
decrescenza rapida in funzioni appartenenti allo stesso spazio).
Allora HA SENSO prendere una funzione, calcolarne la trasformata di
Fourier *che e' ancora una funzione* e calcolarla in un punto (k).

La trasformata di Fourier-Plancherel lavora su L^2 e finisce in L^2 e
quindi NON manda funzioni in funzioni, ma *classi di equivalenza di
funzioni* in *classi di equivalenza di funzioni*, per tale motivo NON ha
senso valutare in un punto (k) il risultato della trasformazione di F-P.
Quindi il "funzionale" che agisce su una "funzione" di L^2 e ne valuta
la trasformata di F-P nel punto k *non esiste*!
 
La trasformata di Fourier agisce anche in sottospazi di L^2 quando
l'integrale di Fourier ha senso ed e' definito, su tali sottospazi di
L^2(R), il funzionale di Fourier che dici tu. Questo perche'

 *l'integrale di Fourier non cambia valore (a k fissato) all'interno di
una delle classi di equivalenza dette sopra *.




>
> Adesso il discorso dovrebbe "tornarmi" anche nell'applicazione di
> questo in meccanica quantistica (ditemi se sbaglio!):
> L^2 e' isomorfo al suo duale; pero' se ci limitiamo a considerare un
> suo sottospazio S fatto di funzioni che presentino certe condizioni di
> regolarita' il duale di S non sara' piu' isomorfo a S perche' ad
> esempio il funzionale "trasformata di Fourier-Plancherel" sara'
> limitato e continuo su S; percio' ci saranno elementi del duale di S
> che non corrispondono ad elementi di S (bra che non corrispondono a
> ket propriamente detti). Vero?

E'un po' confuso quello che dici, vediamo in dettaglio.

Premessa: un funzionale (lineare) manda elementi di uno spazio
vettoriale nel suo corpo (preservando la linearita'), cioe' vettori
in scalari.
          un operatore (lineare) manda vettori di uno spazio vettoriale
in vettori di (un altro in generale) spazio vettoriale
(in modo lineare).

Il *funzionale* trasformata di F-P non esiste come detto sopra!
Esiste solo l'*operatore* trasformata di F-P.

Il funzionale trasformata di Fourier *esiste* come detto sopra
quindi bisogna lavorare con esso in opportuni sottospazi.


Andiamo avanti.

Prendiamo un sottospazio S di uno spazio di Hilbert H, il duale di S
e' dato da tutti i funzionali lineari e continui (=limitati) da S
nel corpo K di H. Ricordo che il teorema (uno dei tanti) di Riesz prova
che H stesso e' anti-isomorfo al suo duale. Se S e' un sottospazio
proprio di H, in generale il duale di S non e' piu' anti-isomorfo a S
stesso: il duale e' molto piu' grande, di esempi ne puoi fare tantissimi
e li lascio a te. Comunque la prova generale e' ovvia, l'ortogonale di S
che non contiene solo il vettore nullo e non coincide con S (S e'
proprio), contiene vettori che agiscono come funzionali (banalmente!)
continui su S e non sono identificabili con elementi di S.

Torniamo a S. Prendiamo per H lo spazio
L^2(R). Questo spazio e' fatto di *classi di equivalenza* di funzioni
e' solo in tal caso che e' *completo* ed e' quindi uno spazio di Hilbert
e possiamo usare i fatti di sopra. La relazione di equivalenza
e' quella che identifica funzioni che differiscono su insiemi di misura
*di Lebesgue* nulla.

Ora tu prendi un sottospazio S nel quale ha senso calcolare l'integrale
di Fourier, ce ne sono effettivamente tantissimi. Prendi
per esempio la classe di equivalenza generata da una funzione misurabile
nulla fuori da un compatto e quindi considera lo spazio
lineare S generato da tale vettore. Il funzionale di Fourier valutato
su un elemento del sottospazio detto (fissato un preciso
"vettore d'onda k") e' ben definito: se cambi rappresentante della
classe di equivalenza il suo valore non cambia
E' immediato verificare che il funzionale di Fourier e' continuo su tale
sottospazio.
Comunque anche se prendessi un sottospazio S in cui la
trasformata di Fourier valutata per un certo k definisce un funzionale
continuo, sicuramente ci sarebbero degli elementi del duale di S non
rappresentabili in S stesso, pero' nessuno ti assicura che cio' accada
per il funzionale di Fourier! Potrebbe comunque essere rappresentato
da un elemento di S. Nell'esempio considerato cio' e' ovvio.

Ti faccio anche un esempio opposto.
Basta che prendi per esempio lo spazio ottenuto delle funzioni continue
su R ed a supporto contenuto in un determinato intervallo limitato C =
(a,b).
Il sottospazio S di L^2(R) e' ora dato dalle classi di equivalenza
dell'insieme delle funzioni dette.
Ciascuna classe e' ottenuta da una funzione continua detta sopra
cambiandone il valore in un qualsiasi insieme di misura nulla in C.

Ora, tenendo conto che la funzione esponenziale a k fissato e' in
L^2(C), usando la disuguaglianza di Schwarz provi subito che il
funzionale di Fourier e' continuo (nella topologia di L^2(R)) nel
sottospazio S considerato.

Quindi abbiamo un sottospazio (proprio e non chiuso) in cui il
funzionale di Fourier e' continuo. Tale funzionale NON sara'
rappresentabile come un elemento di S: e' facile provare che tale
elemento sarebbe infatti l'esponenziale stesso ristretto a C (con k
cambiato di segno), e' pero' impossibile modificare in un insieme di
misura nulla su C l'esponenziale ristretto a C, in modo da ottenere una
funzione continua su R. Quindi siamo fuori da S!
In effetti il funzionale di Fourier e' rappresentabile, tramite
l'esponenziale ristretto a C, come un elemento della CHIUSURA di S che
non coincide con S perche' S per esempio non contiene i punti limiti
dati dalle funzioni a gradini nulle fuori da C.


 Spero di esserti stato di aiuto e di non aver detto cose sbagliate
 negli esempi che ho costruito "a mano" senza pensarci tanto
 (non ho molto tempo),

  Ciao, Valter Moretti

        Dipartimento di Matematica
        Universita' di Trento e INFN
Received on Thu Sep 17 1998 - 00:00:00 CEST