aiuto: spazio L^2 e suo duale

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/09/15

Guido Aversano wrote:
>
> Lo spazio di Hilbert L^2 e il suo spazio duale sono o non sono
> isomorfi?

Sono isomorfi

> Io penserei di no, in quanto, ad esempio, non vedo quale possa essere
> il corrispondente in L^2 di un funzionale lineare che associa a una
> funzione a quadrato sommabile la sua trasformata di Fourier in un
> punto.
> Ma da qualche parte ho letto invece che sono isomorfi...
>
> Qualcuno puo' aiutarmi?

  Il funzionale che citi non ammette rappresentazioni come elemento
  del duale PERCHE' E' UN FUNZIONALE NON LIMITATO e nel duale si
  rappresentano solo i funzionali limitati.
 
  Nel caso in esame se per definire l'integrale di Fourier usi
  l'esponenziale exp{ikx}, allora considera la classe di funzioni
  (n=0,1,2....) di L^2(R)

  
             O per x<0 e x>n
 f_n(x) =
             exp{-ikx}/(x+1) altrimenti


   Indicata con F(k, g) la trasformata di Fourier della funzione
   g calcolata in k, hai subito che ( || || e' la norma di L^2)

    | F(k,f_n) |
    ------------ ----> infinito se n --> infinito
      ||f_n||

  
   Questo prova che il funzionale non e' limitato e fine della
   discussione.


  In realta' c'e' anche un altro motivo
. Il funzionale che dici non e'
  nemmeno definito in quanto la trasformata di Fourier non e'
  definita su L^2, ma devi estenderla in quella di Fourier-Plancherel.
  Quest'ultima mappa elementi di L^2 in elementi di L^2, come ben
  saprai gli elementi di L^2 sono classi di equivalenza di funzioni
  a quadrato sommabile, ovvero sono funzioni a quadrato sommabile
  definite a meno di insiemi di misura nulla. Pertanto non ha alcun
  senso parlare del risultato di tale trasformazione calcolato in un
  punto, visto che il punto ha misura nulla!

  Ciao, Valter Moretti
Received on Tue Sep 15 1998 - 00:00:00 CEST