Principio di Fermat

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/09/15

Valter Moretti wrote:

> Sei sicuro che sia sufficiente la vicinanza degli estremi per avere
> un minimo vero? io non l'ho mai sentito questo (ma potrebbe essere
> ovviamente vero lo stesso :-)).
> La "vicinanza" degli estremi assicura che ci sia un unico percorso
> che connette gli estremi che risolve le equazioni considerate
> nell'intorno considerato, ma non mi pare che assicuri il fatto
> che tale percorso sia anche minimo del tempo. Per vedere se
> e' un minimo bisogna studiare la variazione seconda del funzionale
> (e a volte non basta nemmeno quella)...
>
> Ciao, Valter Moretti

 Invece avevi ragione! Mi sono rivisto un po' di cose di quando
 studiavo meccanica analitica: la teoria dell'iconale comporta
 che se i due estremi sono sufficientemente vicini, il funzionale
 tempo e' effettivamente
 minimizzato dalla traiettoria del raggio luminoso. Basta vedere
 come e' scritta la soluzione della funzione iconale per superfici
 a iconale costante "vicine"...
 In meccanica si ha un fatto analogo con il principio di Maupertuis
 dove pero' il funzionale da stazionarizzare e' qualcosa di piu'
 complicato (NON e' l'azione come spesso si dice erroneamente:
 il principio di "minima" azione e' un'altra cosa!). Si
 vede che in tal caso, se l'energia cinetica del sistema e' una forma
 quadratica nelle "q punto" e la forma della
 lagrangiana e' canonica (E. cinetica- E. potenziale), allora il
 funzionale e' nuovamente MINIMO per la traiettoria effettiva del
 sistema, purche' la configurazione iniziale e finale siano vicine
 a sufficienza. Questa proprieta' di minimo non si ha in generale
 se l'energia cinetica non e' quadratica.

 Ricordo che questa analogia ottica/meccanica e' in realta'
 profondissima ed e' una delle vie piu' belle, a mio parere, per
 arrivare all'equazione di Schroedinger partendo dalla meccanica
 classica...

 Ciao a tutti,
 Valter Moretti



 Ciao, Valter
Received on Tue Sep 15 1998 - 00:00:00 CEST