lo spin in meccanica quantistica

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1998/09/08

Lorenzo De Leo ha scritto:
> Cerchero' di essere preciso: nel mio libro si comincia studiando un sistema
> di puro spin 1/2 mettendo in evidenza che:
> -Il gruppo U2 dei raggi operatori unitari in C2 e' isomorfo a SO3(R)
> (rotazioni proprie)
> e in particolare:
> -Si puo' realizzare una rappresentazione matriciale unitaria genuinamente
> proiettiva di SO3(R) scegliendo i rappresentativi in SU2 con fattori di
> fase +1 e -1
> Infine si trova che (sintetizzo un po'):
> -Se F e' un omomorfismo di SU2 su un gruppo di matrici H e se R--->U(R)
> e' una rappr. proiettiva di SO3(R) in SU2,
> allora FU (F composto con U) e' una rappr. di SO3(R) in H vettoriale o
> proiettiva a seconda che l'immagine di -1 di SU2 sia +1 o -1 di H.
Il mio primo commento e' stato "urca!"
Questo sarebbe un corso di Istituzioni? Che libro e'?

Nella prima frase
> -Il gruppo U2 dei raggi operatori unitari in C2 e' isomorfo a SO3(R)
> (rotazioni proprie)
c'e' ovviamente una parola di troppo (raggi). Ma inoltre l'asserzione
non e' vera: U2 non e' isomorfo a SO3: U2 e' un gruppo a 4 parametri,
SO3 a 3 parametri. Ma forse volevi scrivere SU2. Anche cosi' pero'
l'isomorfismo non c'e': esiste un omomorfismo 2 a 1 di SU2 su SO3.
Cosa che del resto e' implicita in quello che segue: le rappr. di SU2
sono rappr. (vere, ossia vettoriali) di SO3 solo se non sono isomorfe:
-1 va in 1, come hai scritto, ma anche 1 va in 1, quindi la rappr. F non
e' isomorfa.

> Il mio problema e' questo: se ho gia' il gruppo delle rotazioni perche'
> per studiare il carattere delle sue rappresentazioni passo attraverso
> SU2? E' solo per studiare piu' agevolmente il problema o c'e' un legame
> piu' profondo?
Giusta domanda, e ci sono diverse risposte.

1) SU2 e SO3 non sono isomorfi, ma sono "localmente isomorfi", ossia lo
sono in un intorno dell'identita'. Ne segue che hanno la stessa algebra
di Lie (generatori, ovvero operatori di mom. angolare).

2) Il gruppo SO3 non e' semplicemente connesso: se ad es. consideri le
rotazioni intorno all'asse z, da 0 a 2pi, hai un cammino chiuso nel
gruppo (visto come spazio topologico) che non puoi ridurre a un punto
con
deformazione continua.
Se non lo sai, non e' facile spiegarlo senza figure...

3) Invece SU2 e' semplicemente connesso. Non solo: e' il gruppo s.c. che
si ottiene da SO3 con la tecnica del "ricoprimento universale" (general
covering group). E' un teorema generale che ogni gruppo topologico non
s.c. ammette un ricoprimento universale, e che esiste un omomorfismo dal
r.u. al gruppo iniziale, il cui nucleo e' un gruppo discreto
commutativo. Nel nostro caso, il quoziente e' il gruppo ciclico di
ordine 2.

4) Dal fatto che i due gruppi hanno la stessa algebra di Lie, segue che
le rappr. delle algebre di Lie sono le stesse (banalmente). Ma la rappr.
dell'algebra di Lie non genera una rapp. vettoriale del gruppo, a meno
che
questo non sia s.c. Quindi si' per SU2, no per SO3.

5) Dalla definizione di simmetria in m.q. segue che non occorre una
rappr. vettoriale: una rappr. proiettiva e' sufficiente. Nel nostro
caso, tutte le rappr. proiettive di SO3 sono rappr. vere di SU2. Quindi
e' giusto
interessarsi delle rappr. (vettoriali) di SU2.

Infine una domanda: ma chi e' che fa studiare queste cose a Istituzioni?
Io non me lo sono mai sognato; li ho sempre considerati argomenti da
post-laurea.
A Istituzioni mi sembra piu' essenziale imparare a vedere la fisica
dello spin (statistica, interazioni spin-orbita, classificazioni dei
livelli) e magari discutere le questioni sulla misura (esp.
Stern-Gerlach, correlazioni e stati entangled) che non impegolarsi nel
formalismo.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Tue Sep 08 1998 - 00:00:00 CEST