Salve atutti
avrei bisogno di sapere se le soluzioni da me date dei due seguenti
problemi sono corrette. Ringrazio tutti quelli che mi aiuteranno.
Sono molto gradite risposte via e-mail.
Grazie ancora
Esercizio 1
Un piccolo cilindro di materiale dielettrico con epsilon_r = 3 � posto
a distanza r = 5 R dal centro di una sfera conduttrice isolata di
raggio R = 1 cm, al potenziale V = 2 10^4 V. Il volume del cilindro �
tau = 20 mm^3 e le sue dimensioni sono trascurabili rispetto ad R.
Calcolare la forza che agisce sul cilindro.
Soluzone
Considerando che nel conduttore il campo elettrico E � nullo, le
cariche si distribuiranno sulla superficie della sfera, con una
densit� superficiale di carica sigma. Allora, se E dl = dV, E =
sigma/epsilon_0, quindi
sigma = V epsilon_0/R
e quindi
Q = sigma S
e di conseguenza calcolo il campo elettrico E. Nel cilinderetto ci
sar� una distribuzione di cariche di polarizzazione definite
attraverso la formula
P = epsilon_0 chi E(r),
che genereranno a loro volta un momento di dipolo pari a
p = P tau.
La forza agente sul cilindretto sar� diretta lungo la congiungente il
centro della sfera con il cilindretto (chiamo x questa direzione), di
conseguenza
Fx = px d(Ex)/dx
dove
d(Ex)/dx = - 2Q/(4 Pi epsilon_0 (r-R)^3)
p = epsilon_0 chi E(r-R) tau
Esercizio 2
Una spira quadrata di lato b = 9 cm, massa m = 5 g e resistenza R =
10^(-3) Ohm, si muove con velocit� costante Vo = 5 m/s lungo l'asse x.
All'istante t = 0 il suo lato anteriore comincia ad entrare in una
regione in cui esiste un campo magnetico B, ortogonale al piano della
spira e uscente dal piano stesso, dipendente da x secondo la legge
B(x) = alfa x, con alfa = 2 T/m. Calcolare la forza F(x) che agisce
sulla spira, la velocit� v(x) della spira e in particolare per x = b
il valore di v e della carica q che � circolata nella spira.
Soluzione
il flusso del vettore B attraverso la superficie della spira, Fi(B),
vale B b x(t), ovvero alfa b x(t)^2. La fem indotta nella spira vale
quindi
fi = -dFi/dt = - 2 alfa b x(t) v(t)
Di conseguenza la corrente indotta nella spira vale:
i = -fi/R = - 2 alfa b x(t) v(t) / R
La forza che agisce sulla spira vale invece
F = i l B = - 2 alfa b x(t) v(t) alfa x(t) b / R
e questa deve essere uguale a
m a = m dv/dt
Quindi
- 2 alfa b x(t) v(t) alfa x(t) b / R = m dv/dt
dv = -2 (alfa^2 b^2/(m R))x^2 v dt = -2 (alfa^2 b^2/(m R))x^2 dx
Integrando dv tra Vo e Vfin e dx tra 0 e b ottengo Vfin, ovvero V(b).
Per il calcolo della carica q, invece, considero che
i = dq/dt -> dq = i dt
dq = - 2 alfa b/R x v dt = - 2 alfa b/R x dx/dt dt = - 2 alfa b/R x
dx
Integrando dq tra l'istante iniziale e finale e dx tra 0 e b ottengo
la quantit� di carica che passa attraverso la spira.
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Vita lunga e prospera
Marco
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Received on Fri Aug 14 1998 - 00:00:00 CEST