Paradosso con il teorema di Gauss

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1998/06/01

Cerco di contribuire da un altro punto di vista.
Marco dovrebbe sapere che l'infinito va trattato sempre con molta
attenzione: dire che qualcosa ha estensione infinita e' lecito solo se
si dimostra che in pratica trauna cosa "molto grande" e una infinita la
differenza e' piccola; in altre parole, se le grandezze che stiamo
studiando hanno un limite quando la cosa va all'infinito. (Una "cosa"
che va all'infinito non sembra molto matematica, ma la ragione e' che
per definire il limite bisogna prima sapere di che "cosa" si tratta).

Qui la "cosa" e' la tua distr. di carica.
Supponiamo dunque di tenere costante la densita', e di far crescere le
dimensioni occupate dalla carica. Il imite esistera', e percio' il
ragionamento con distr. infinita avra' senso, se il risultato e' lo
stesso quale che sia il modo come vado a infinito.

1) Suppongo che la distr. sia sferica, con centro nel punto dove voglio
calcolare il campo. In questo caso e' ovvio che il campo e' nullo,
qualunque sia il raggio della sfera. OK: il limite in questo caso
particolare esiste.

2) La distr. e' ancora sferica, ma il punto che interessa lo metto a
meta' strada frail centro e il bordo. In questo caso il campo non e'
nullo, e applicando il tuo teorema di Gauss vedi che esso cresce
proporzionalmente al raggio, ed e' diretto radialmente.
Dunque quando r va a infito, il campo va a infinito anche lui; per di
piu' la direzione del campo dipende da dove ho messo il centro della
sfera.

3) Se la distr. di carica ha una forma diversa dalle precedenti, anche
senza fare il conto capisci che il campo puo' venire qualunque cosa.

Dunque il limite del campo per distr. di carica che va a infinito *non
esiste*.

Se ti limit a una distr. di dimensioni finite, anche se grandi,
naturalmente non c'e' nessun problema a calcolare il campo, e nessun
paradosso col teorema di Gauss.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Mon Jun 01 1998 - 00:00:00 CEST