HELP Gravita' !!!!

From: Pasquale Federico Zema <df171531_at_cerd1.difi.unipi.it>
Date: 1998/06/02

On 2 Jun 1998, Daniele Pinchera wrote:

> Sono uno studente di quinto liceo scientifico e mi domando se esiste una
> legge che regola il modo dei corpi in accelerazione quando questa non e'
> costante.

 Consideriamo una sola dimensione: dette x(t), v(t). a(t) rispettivamente
la posizione, la velocita' e l'accelerazione di un corpo al tempo t, v(t)
e' la derivata prima di x(t) e a(x) e' la derivata prima di v(t), ossia e'
la derivata seconda di x(t). Ovviamente, con "derivata" intendo "derivata
rispetto al tempo".


> Ad esempio considerando un corpo ad una distanza x dalla terra tale che
> la sua g=5 questo cadra' "accelerando la sua accelerazione" fino ad
> arrivare sulla superficie dove g=9,8.

 Mi permetto di darti un piccolo consiglio, dato che tra poco dovrai
affrontare gli esami di maturita': se con g intendi un'accelerazione,
scrivere "g=9.8" e' sbagliato; 9.8 e' un numero, non un accelerazione;
"g=9.8 m/s^2" e' invece corretto! Ripeto, non e' una critica, ma solo un
consiglio: stiamo attenti alle dimensioni, altrimenti il commissario si
puo' arrabbiare...


> In pratica vorrei trovare una funzione s=f(t), indicando con s lo spazio
> percorso e t il tempo.

 Se tu conoscessi come varia l'accelerazione nel tempo, ossia se avessi la
forma esplicita a(t), basterebbe integrare due volte, ossia, immaginando
che il corpo parta da fermo:

        v(t) = integrale di a(z) * dz tra z=0 e z=t

        x(t) = integrale di v(y) * dy tra y=0 e y=t

 Spero che la notazione sia abbastanza chiara...

 Nel problema che hai posto, pero', noi conosciamo esplicitamente
l'accelerazione in funzione di x, non di t, quindi il doppio integrale non
si puo' piu' fare. Si tratta di risolvere un'equazione differenziale,
ossia un'equazione in cui l'incognita non e' un numero ma una funzione:

        deriv. seconda di x(t) = a(x)

il che puo essere piu' o meno banale a seconda della forma di a(x), ma
comunque non credo che al liceo scientifico questo tipo di equazioni venga
trattato.
 Nel caso gravitazionale a(x) = G * M / x^2, ma ammetto di non sapere se
esista una soluzione esatta del problema; sfruttando la conservazione
dell'energia e' facile calcolare v(x), e l'equazione da risolvere diviene
allora:

        deriv. prima di x(t) = v(x)

ma qui mi fermo e giro il quesito agli altri :-)

 In bocca a lupo per gli esami!!!

                                        Ciao a tutti
                                           Federico
Received on Tue Jun 02 1998 - 00:00:00 CEST