Paradosso con il teorema di Gauss

From: Raskolnikof <a.mariantoni_at_mclink.it>
Date: 1998/06/04

Marco Coletti ha scritto:

...

>
>Un momento... in *matematica* il Th. di Gauss richiede alcune
>condizioni che non ricordo esattamente ma sarei propenso a ritenere
>che richieda solamente:
>- cha la superfice sia chiusa e topologicamente non-so-cosa... la
>sfera di sicuro soddisfa queste ipotesi
>- che esista div(E) in nella regione interna alla superficie chiusa
>- che esista l'integrale di flusso di E sulla superficie considerata
>

Una precisazione.Non ha senso dire il teorema di Gauss "in matematica", il
teorema di Gauss � un teorema della matematica. Quello di cui stiamo
parlando � soltanto un caso di applicazione del teorema di Gauss
all'elettrostatica ossia a una branca della fisica dove il campo vettoriale
che consideriamo � proprio il campo elettrico.
Per quanto riguarda le ipotesi di validit� di questo teorema sono quelle che
ti accennavo. Del resto quando dici che devono essere definiti la div(E) ed
E stai dicendo esattamente quanto avevo detto io.
La questione nodale � proprio questa: in una distribuzione di carica come la
tua non � definita l'energia potenziale in nessun punto e di conseguenza
neanche campo e divergenza del campo.
Non c'� alcun paradosso, � solo che applichi il teorema in maniera
arbitraria e sbaglliata.
Se il campo non � definito in nessun punto hai voglia a mettere superfici e
considerare la carica a loro interna...... non approderai a nulla.

>Nella *teoria elettrostatica* invece la legge di Gauss dice che, data
>una carica comunque distribuita all'interno e all'esterno di una
>superficie chiusa, il flusso del campo elettrico attraverso tale
>superficie esiste ed e' proporzionale alla quantita' di carica Q
>inclusa nella superficie stessa. Non fa alcuna ipotesi sul campo
>elettrico, ma dice solo che esso e' tale che il suo flusso e'
>proporzionale a Q.

Ripeto: il teorema di Gauss dice sempre la stessa cosa, perch�
 non dipende dal tipo di campo vettoriale fisico a cui lo applichi.
Se lo applichi al campo magnetico, che ha divergenza nulla, ti dice che il
flusso uscente
� in quel caso nullo. Cosa corretta visto che il campo magnetico non ha
cariche.
Inoltre non � vero che non si facciano ipotesi sul campo elettrico, perch� �
il teorema
stesso che per essere applicato impone le condizioni di sopra a qualsivoglia
campo
vettoriale venga considerato.
La supposizione che si fa in elettrostatica � semmai quella di avere a che
fare sempre
con distribuzioni di carica tali che il campo elettrico sia definito e
quindi il teorema applicabile.
La tua distribuzione non risponde a questa richiesta. I' am sorry :-).


>Puo' darsi (ma non ricordo) che nella formulazione piu' precisa la
>legge di Gauss ponga l'ipotesi di una distribuzione di carica
>*limitata* nello spazio, e allora tale legge non sarebbe applicabile
>al mio esperimento ideale.

A costo di ripetermi fino alla noia voglio ribadire che il teorema di Gauss
non parla
nella sua formulazione pi� generale di concetti come "la distribuzione della
carica".
Il teorema di Gauss ti dice come sotto opportune ipotesi, quelle che non ti
vanno gi�,
la divergenza di un campo vettoriale sia correlata con il suo flusso.
Per applicare il teorema devi garantire che il tuo campo vettoriale rispetti
le condizioni
richieste. Naturalmente nel nostro caso, il campo elettrico, queste
condizioni si possono
anche tradurre in condizioni restrittive sulla distribuzione di carica: la
distribuzione di carica
ipotizzata deve essere tale che il campo elettrico da essa generata sia
definito.
Il motivo per cui non trovi esplicita menzione di questa limitazione nei
libri di fisica �
perch� trattando di casi concreti, del mondo reale, o anche immaginari, ma
consistenti dal punto di vista fisico, il problema non si pone mai � il
campo � sempre definito.
Si d� il caso che la tua distribuzione di carica non sia riproducibile nel
mondo reale e non
sia consistente dal punto di vista fisico, quindi non c'� da stupirsi se
porta a un campo indefinito.
Naturalmente � proponibile da un punto di vista puramente matematico, perch�
nessuno ti vieta di considerare una distribuzione di cariche infinita e
uniforme, per� a conti fatti perdi la possibilit� di parlare di campo
elettrico e teorema di Gauss.
Tra l'altro, sempre restando nella matematica, cosa succede secondo te se
considero una carica elettrica infinita e puntiforme e una superficie che la
racchiude? Cosa mi dice in questo caso il teorema di Gauss?

>Del resto nel msg precedente ho
>evidenziato come anche la semplice legge di Coulomb e' incompatibile
>con una situazione di carica uniforme e illimitata.

Bravo. Ed essendo incompatibile la legge di Coulomb che esprime la forza
 lo � anche il campo che da essa deriva.

>Se all'inizio del corso di elettrostatica ponessero quale ipotesi di
>lavoro che la carica sia limitata nello spazio (o meno
>restrittivamente, con integrale di volume convergente su tutto lo
>spazio [equivalente a dire che la carica Q e' finita] o qualche
>ipotesi del genere) allora io col mio paradosso avrei violato le
>regole, ma a quanto ricordo, non le ho violate :)
>

Mi sembra che all'inizio dei corsi di fisica si dica sempre e comunque che
considerare
valori infiniti per le grandezze fisiche oggetto di misura sia cosa da non
farsi.
In quanto al tuo "non paradosso" e alle regole da te violate, mi sono gi�
appiattito i
polpastrelli a forza di spiegartele :-).

>
>>>La nostra intuizione ci suggerisce subito che il campo elettrico
>>>risultante e' nullo ovunque, in quanto, preso un punto a piacere, data
>>>la omogeneita' e isotropia della situazione, non vi e' alcun motivo
>>>per giustificare un vettore campo elettrico che punti in una direzione
>>>piuttosto che in un'altra.
>>
>>Questo � il punto cruciale. La tua intuizione ti inganna. Il campo
elettrico
>>non � nullo in tutto lo spazio, bens� non definito in tutto lo spazio. Ed
>
>Questa infatti mi sembra la risposta piu' sensata: il campo elettrico
>non e' definito.

Appunto � non definito, e non "nullo ovunque" come dicevi nel primo post.
E quindi vedi bene che il paradosso non c'�.

Ciao, Raskolnikof
Received on Thu Jun 04 1998 - 00:00:00 CEST