Paradosso con il teorema di Gauss

From: Raskolnikof <a.mariantoni_at_mclink.it>
Date: 1998/05/29

Marco Coletti ha scritto :

>C'� un quesito che � nato nella mia testa al tempo in cui facevo
>esercizi di elettromagnetismo e non ho mai trovato una risposta
>soddisfacente. Piu' che altro sembra un paradosso.
>

In realt� non c'� nessun paradosso, come spero di mostrarti.

>Brevemente, il teorema di Gauss (o legge di Gauss forse...) afferma
>che, data una superfice chiusa nello spazio R^3, l'integrale di volume
>della densita' di carica (cioe' la carica totale contenuta nella
>superficie) e' pari al flusso del campo elettrico uscente dalla
>superficie (a meno di un fattore epsilon).
>Una volta date alcune nozioni di matematica, si trova che esso non e'
>nient'altro che una diversa formulazione dell'equazione
> div(E) = rho
>che suggerisce come la carica rho sia l'origine del campo elettrico.
>

Il teorema di Gauss richiede anche qualche altra condizione aggiuntiva, di
tipo matematico. Ti chiede cio� che il campo vettoriale che vai a
considerare sia definito e derivabile nella porzione di spazio che vai a
considerare. Se il campo non � definito � ovvio che il teorema e le
relazioni da te sopra illustrate non valgono. Ed � proprio questo il nostro
caso.

>Prendiamo una distribuzione di carica tale che la densita' di carica
>sia positiva e uniforme in tutto lo spazio R^3 (cioe' la carica si
>estende uniformemente all'infinito). Mi rendo conto che tale
>distribuzione non e' fisicamente possibile, dato che implicherebbe una
>quantita' di carica infinita, ma mi pare che nulla nella teoria
>elettrostatica vieti questa ipotesi.

Beh, questa distribuzione non ha nulla di fisico. Gi� parlare di
distribuzione uniforme di carica estesa a tutto lo spazio...
Poi mi chiedo che modello di universo stai ipotizzando. Possiamo immaginare
per comodit� che sia un universo piatto e totalmente privo di materia. E
inoltre che sia trascorso un tempo infinito dalla distribuzione della carica
in modo tale che ogni punto risenta dell'interazione repulsiva di ogni altro
punto. Anche con queste ipotesi non so se tale distribuzione di cariche
sarebbe stabile.
Come vedi non appena si inizia ad analizzare il problema ci si scontra con
quantit� fisiche infinite: la carica, lo spazio, il tempo. In sostanza c'�
puzza di bruciato...

>La nostra intuizione ci suggerisce subito che il campo elettrico
>risultante e' nullo ovunque, in quanto, preso un punto a piacere, data
>la omogeneita' e isotropia della situazione, non vi e' alcun motivo
>per giustificare un vettore campo elettrico che punti in una direzione
>piuttosto che in un'altra.

Questo � il punto cruciale. La tua intuizione ti inganna. Il campo elettrico
non � nullo in tutto lo spazio, bens� non definito in tutto lo spazio. Ed
essendo il campo vettoriale "campo elettrico" non definito, ad esso non si
applica, ovviamente, il teorema di Gauss. Vediamo perch� il campo elettrico
non � definito per la tua distribuzione di carica.
Il campo elettrico � definito come il rapporto tra la forza elettrica F
agente su una carica di prova (piccola) e la carica stessa. E la forza F �
definita come il gradiente (cambiato di segno) dell'energia potenziale U.
La domanda seguente �: quanto vale, o meglio, � definita l'energia
potenziale nel caso della tua distribuzione di carica? Come puoi verificare
riferendo la formula dell'energia potenziale ad un punto qualsiasi dello
spazio ed integrando rispetto al volume su tutti i contributi dovuti agli
altri punti, si ottiene che l'energia potenziale � infinita, o meglio non
definita.
Quindi avendo una funzione energia potenziale non definita su tutto lo
spazio, non sono ivi definite neanche forza e campo elettrici e il teorema
di Gauss non � applicabile.

>
>Come la mettiamo?
>

Come sopra: le condizioni di applicazione del teorema di Gauss non sono
soddisfatte e quindi non puoi applicare il teorema di Gauss al "problema".
Facendolo ottieni un risultato errato.

>
>Come e' fatto questo campo elettrico?
>

Non � una funzione trattabile essendo non definito in tutto lo spazio.



Ciao, Raskolnikof
Received on Fri May 29 1998 - 00:00:00 CEST