Il giorno domenica 23 luglio 2023 alle 01:30:04 UTC+2 Eustachio Manfredi ha scritto:
...
> Bravo, vedo che hai studiato.
>
Grazie, da un bel pò in effetti ...
>
> Allora dovresti anche sapere che la
> lagrangiana non è invariante per
> traslazione se il sistema fisico a cui si
> riferisce è immerso in un ambiente
> esterno al sistema stesso (ad esempio
> un campo) che dipende dalla posizione
> nello spazio.
>
"Ambiente esterno" e "campo" sono già due cose molto diverse. Ma nessuna delle due è sufficiente per affermare che la lagrangiana del sistema non è invariante per traslazioni spaziali: se nell'intervallo di tempo considerato il campo (nel senso di "campo di forze") non è in grado di modificare in modo misurabile la quantità di moto (in seguito "qdm") del sistema, la lagrangiana di questo *è* invariante per traslazioni spaziali.
Esempio 1: c'è un campo di forze che applica una coppia di forze (quindi la risultante è nulla) sul bordo di un disco rigido (di massa non nulla), tangenzialmente, sullo stesso piano del disco. Questo campo *dipende* dalle coordinate spaziali perché le forze sono vettori e se non cambiano in modulo, cambiano però in direzione e verso.
La lagrangiana del sistema (del disco rigido) è invariante per traslazioni spaziali e la qdm è nulla.
Ma la lagrangiana invece non è invariante per *rotazioni* spaziali, quindi il momento della quantità di moto (mqdm) non si conserva (2a cardinale della dinamica). In questo caso la lagrangiana non è nemmeno invariante per traslazioni temporali: l'energia non si conserva.
Esempio 2
Due dischi materiali rigidi (di massa non nulla) esattamente uguali, coassiali, ruotano in senso opposto in virtù di due diverse coppie di forze: la prima uguale ed opposta alla seconda, che gli sono applicate come nell'esempio 1, ad ogni disco; quindi il mqdm del sistema (cioè i due dischi) rimane costante perché il momento delle forze risultante è nullo. In questo caso la lagrangiana è invariante per traslazioni spaziali *e* per rotazioni spaziali => qdm e mqdm si conservano; non è invariante però per traslazioni temporali (l'energia non si conserva).
Quello che succede quando non si ha l'invarianza per traslazioni spaziali (e se l'energia cinetica, come avviene di solito, non è funzione delle coordinate) è, invece, che *il potenziale* (e non "il campo") è dipendente dalle coordinate spaziali.
>
> Ma questo non è il caso
> della situazione che ho presentato
>
A me invece pare proprio di si:
<<C'è un principio nella fisica, quasi mai esplicitamente dichiarato, che è praticamente l’“invarianza per traslazione spaziale”. Secondo questo principio se due sistemi fisici identici (macroscopici), ovunque collocati, sono sottoposti alle stesse sollecitazioni esterne, gli effetti che si ottengono saranno identici; ovvero l’evoluzione dei due sistemi sarà uguale.>>
Una "sollecitazione esterna" è un campo di forze, e in quanto citato qui sopra non viene specificato che il campo [che poi invece è il potenziale] non è funzione delle coordinate spaziali (di solito lo è!).
>
> Non ho parlato di principio di
> conservazione della quantità di moto ma
> di un principio che è implicito nella fisica
> almeno dai tempi di Galileo, quindi ben
> prima di Lagrange e del teorema di
> Noether.
>
“Invarianza per traslazione spaziale” è un termine tecnico utilizzato nel contesto della formulazione lagrangiana e del teorema di Nöther. In ogni caso è necessario specificare *di che cosa* si ha l'invarianza di cui sopra, altrimenti è una frase totalmente priva di significato.
>
> Ho detto:
> “Se due sistemi fisici identici
> (macroscopici), ovunque collocati, sono
> sottoposti alle stesse sollecitazioni
> esterne, gli effetti che si ottengono
> saranno identici; ovvero l’evoluzione dei
> due sistemi sarà uguale”
>
Non direi: basta prendere due punti materiali uguali, posti in due punti diversi di un campo di forze uniforme, ma che hanno velocità iniziali differenti, e l'evoluzione temporale (il moto) sarà differente.
>
> Detto in poche parole: “Stesse cause
> implicano stessi effetti”
>
Ma questo è differente da ciò che era stato scritto:
<< Se due sistemi fisici identici
(macroscopici), ovunque collocati, sono sottoposti alle stesse sollecitazioni esterne, gli effetti che si ottengono saranno identici>>
dove si poneva l'accento anche sulla posizione spaziale.
In conclusione, se non si intendeva parlare del teorema di Nöther, di cosa si voleva parlare?
Quale è in realtà questo "principio" che si voleva esporre? Non si capisce.
Infatti sta già scritto in F = ma, o, se si preferisce, nelle equazioni di Eulero-Lagrange, che l'evoluzione dinamica di un sistema fisico è sempre la stessa se le forze (i potenziali) sono sempre le stesse, *date uguali velocità iniziali*, indipendentemente dal punto iniziale delli spazio: basta fare un cambiamento di variabile nella funzione potenziale e la soluzione dell'equazione differenziale è esattamente la stessa!
Sarebbe allora utile indicare dov'è enunciato il principio che si vuole esporre così da leggere la frase esatta nonché il contesto esatto.
>
> Questo basilare principio suggerisce di
> considerare sempre sincronizzati due
> orologi che vengono ugualmente
> accelerati.
>
Ma il fatto che "stesse cause implicano stessi effetti" non autorizza a dedurre che due orologi ugualmente accelerati rimangono sincroni nel tempo.
A me sembra che non lo rimangano visto che le loro linee d'universo hanno lunghezza differente ad un dato istante di tempo t' nel riferimento inerziale K' in cui hanno stessa velocità finale, rispetto all'istante t = 0 nel riferimento inerziale K in cui sono inizialmente fermi ad una certa distanza x:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_spaceship_paradox
> In ogni caso prima di sparare frasi inutili
> si dovrebbe almeno cercare di capire e,
> nel caso chiedere spiegazioni. Io penso
> che tu abbia capito poco o niente di
> quello che avevo detto
...
Sono del tutto d'accordo: prima di sparare frasi inutili tipo "invarianza per traslazioni spaziali" bisognerebbe enunciare quel "principio" correttamente ed in modo chiaro; per esempio, una volta viene posto l'accento sui diversi punti dello spazio ("invarianza per traslazioni spaziali") e un'altra viene posto l'accento su "Stesse cause implicano stessi effetti” quindi chiunque avrebbe il dubbio che qualcosa non torni.
Nota per Bruno Cocciaro: non so se la tua interpretazione che il "principio" a cui intendeva riferirsi l'OP, ovvero il Principio di Relatività, sia giusta; secondo me no, ma è l'OP che dovrà dirlo.
25-07-2023 18:21
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Wakinian Tanka
Received on Tue Jul 25 2023 - 18:22:22 CEST