Il 25/07/2023 18:22, Alberto Rasà ha scritto:
...
Non ho seguito tutta la vostra discussione,
intervengo solo riguardo a questo punto
(così faccio un po' di ripasso ;-).
> Esempio 1: c'è un campo di forze che applica una coppia di forze (quindi la risultante è nulla) sul bordo di un disco rigido (di massa non nulla), tangenzialmente, sullo stesso piano del disco. Questo campo *dipende* dalle coordinate spaziali perché le forze sono vettori e se non cambiano in modulo, cambiano però in direzione e verso.
Non ho capito in che modo le forze applicate al disco costituirebbero un campo:
in un dato punto dello spazio le 2 forze in questione dipenderebbero dal punto
_e_ dalla configurazione del disco, quindi non costituirebbero un campo
(funzione del punto ed eventualmente del tempo).
> La lagrangiana del sistema (del disco rigido) è invariante per traslazioni spaziali e la qdm è nulla.
>
> Ma la lagrangiana invece non è invariante per *rotazioni* spaziali, quindi il momento della quantità di moto (mqdm) non si conserva (2a cardinale della dinamica). In questo caso la lagrangiana non è nemmeno invariante per traslazioni temporali: l'energia non si conserva.
Comunque, suppongo che il disco omogeneo sia vincolato a muoversi senza attrito nel
suo piano e che sia soggetto a un momento di forza assiale (rispetto all'asse perpendicolare
al piano del disco) M(t), allora se I e m sono il momento d'inerzia assiale (asse per il
centro del disco) e la massa del disco, dato un sistema di coordinate cartesiane nel piano
del disco t.c. (x, y) siano le coordinate del suo centro e a l'angolo di rotazione rispetto
all'asse, considero la lagrangiana (' = d/dt)
L = T - V = 1/2 I a'^2 + 1/2 m (x'^2 + y'^2) + M(t) a
L dipende esplicitamente dal tempo e l'energia meccanica non si conserva,
le coordinate x e y sono cicliche quindi si conservano i corrispondenti
momenti coniugati
p_x = m x', p_y = m y',
l'eq.e di Lagrange per la coordinata angolare è
I a'' = M(t)
cioè appunto la seconda eq.e cardinale.
Questo mi sembra il modo più naturale per risolvere il moto del sistema
volendo sprecare ;-) il formalismo lagrangiano, erano questi il sistema
e la soluzione che intendevi?
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Wed Jul 26 2023 - 08:12:02 CEST