Re: Un piccolo esercizio di relatività (ristretta!)

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Wed, 31 Jan 2024 17:15:04 +0100

Christian Corda ha scritto:
> Ti sfugge il punto fondamentale. Lo spazio-tempo di Lorentz e quello
> di Langevin NON sono lo stesso spazio-tempo visto da diverse
> coordinate statiche, sono due spazi-tempi diversi. La trasformazione
> di Langevin rompe la covarianza generale ed il tensore di Riemann
> relativo alla metrica di Langevin, differentemente da quello
> relativo alla metrica di Lorentz, ha delle componenti non nulle e
> dipendenti dalla velocità angolare, nonostante qualcuno qui, non
> ricordo chi, sostenga il contrario.
Qui mi sento obbligato a intervenire, perché l'argomento non riguarda
l'esperimento in senso stretto, ma un problema generale.
Ritengo che l'affermazione che ho citato sia errata.
Non è vero che lo spazio-tempo di Lorentz e quello di Langevin siano
due spazi-tempi diversi.
Intanto la questione è strettamente matematica: abbiamo una varietà
semi-riemanniana, dafinita dalle coordinate di Lorentz e relativa
metrica.
Poi abbiamo delle trasf. di coordinate, prima da quelle cartesiane per
lo spazio a quelle cilindriche, poi da queste alle nuove coord.
cilindriche di Langevin.
La metrica viene trasformata nel modo ovvio.
(Non capisco l'espressione "visto da diverse coordinate statiche",
perché non so che cosa siano le coord. statiche, oppure dinamiche.)
Non capisco la frase
"la trasformazione di Langevin rompe la covarianza generale"
o meglio la trovo errata.

Qui però debbo aprire una parentesi.
Non ho mai capito che cosa s'intendesse con l'espressione "general
covariance", nel senso che mi pareva che come requisito per
l'accettabiità di una teoria fosse vuota, ossia che qualsiasi teoria
fisica si possa mettere in una forma che rispetta la covarianza
generale.
Mi fece quindi molto piacere legggere a pag. 431 di "Gravitation" la
seguente frase:
"Mathematics was not sufficiently refined in 1917 to cleave apart the
demands for 'no prior geometry' and for a 'geometric, coordinate-
independent formulaton of physics'. Einstein described both demands by
a single phrase, 'general covariance'. The 'no-prior-geometry' demand
actually fathered general relativity, but by doing so anonimously,
disguised as 'general covariance', it also fathered half a century of
confusion."

Ricordo inoltre che in quel libro c'è un intero capitolo, il 12,
dedicato a esporre la presentazione di Cartan della gravitazione
newtoniana come una fisica di uno spazio-tempo curvo (ovviamente
diverso da quello di Einstein).
Questo vuol dire che la teoria newtoniana, espressa à la Cartan,
rispetta il principio di covarianza generale? Sì e no.
Non posso riempire questo post di citazioni, quindi chi vuole
approfondire vada a leggersi almeno il paragrafo finale (12.5, meno di
una pagina e nessuna formula) di quel capitolo.
Chiusa la parentesi.

Il "qualcuno" di cui parla CC credo di essere io (e credo che CC se lo
ricordi benissimo). Solo che io non mi sono limitato a sostenerlo, ma
quasi un anno fa ho fatto un calcolo, che ho reso disponibile a tutti:
http://www.sagredo.eu/temp/Riemann.pdf
invitando a controllarlo e a segnalarmi eventuali errori.
Qualcuno (che ringrazio caldamente) ha accolto il mio invito, e sono
stati trovati alcuni errori, piccoli e senza conseguenze sul
risultato, che è quello prevedibile:
*il tensore di Riemann calcolato con la metrica di Langevin è nullo*
(si veda il thread "Un calcolo inutile" (21/4/23) su
it.scienza.fisica).
Non credo che CC abbia fatto un controllo, oppure l'ha fatto senza
trovare errori; altrimenti non avrebbe mancato di comunicarci il
risultato.

> Il calcolo in campo debole, ossia quando wr è molto minore di c, è
> abbastanza semplice. Basta ricordare il legame tra la metrica ed il
> corrispondente potenziale "Newtoniano" e da lì calcolare il tensore
> di Riemann linearizzato secondo lo schema tradizionale di MTW (ho
> saputo che Misner è recentemente scomparso, mi spiace). Si ottiene
> in pochi passaggi, ad esempio, R_r0r0=w^2.
Qualuque calcolo è soggetto a errori. Nel caso in esame c'è anche
l'appross. di campo debole, che può aver causato errori sottili,
difficili da scoprire.
Io non ho nessuna intenzione di mettermi a fare verifiche, perché
sono arcisicuro della mia verifica.
D'altra parte solo CC può sapere se ha commesso qualche errore, perché
non ci mette a parte del minimo dettaglio del suo calcolo, che quindi
nessuno può verificare.

> La trasformazione di Langevin non è una trasformazione statica, ma
> dinamica.
Non so che cosa vuol dire.

> Per mantenere il sistema in rotazione bisogna fornire energia
> rotazionale. L'osservatore rotante vede questa energia rotazionale
> come curvatura dello spazio-tempo.
Ho già detto che il problema è esclusivamente matematico. Quindi una
presunta spiegazione fisica per la comparsa di una curvatura è inutile
e certamente sbagliata.
Non spendo altro tempo su questo.

> E' un discorso simile al fatto che la massa-energia del buco nero di
> Kerr è superiore a quella del buco nero di Schwarzschild, sebbene
> entrambi abbiano la stessa massa non riducibile, perché il buco nero
> di Kerr ha un'energia di rotazione aggiunta.
Si sa bene che le analogie sono pericolose: a volte funzionano, altre
no. Qindi valgono zero come valore probatorio.

> In passato qualcuno qui mi prese in giro quando dissi che c'è una
> analogia con la metrica cosmologica FLRW a sezioni spaziali
> euclidee. In realtà l'analogia è profonda. In quel caso lo
> spazio-tempo è conformemente piatto, ma il tensore di Riemann ha
> componenti non nulle.
Che la metrica FLRW a sezioni spaziali piatte descriva uno spazio-
tempo curvo è vero, e infatti lo si trova anche nel cap. 16 delle mie
lezioni di "Introduzione alla relatività generale":
http::/www.sagredo.eu/lezioni/irg16.pdf
dove a pag. 16-3 in fondo si legge

"Attenzione. Non si deve equivocare. Stiamo parlando di curvatura
costante delle /sezioni spaziali/ fatte a eta costante (brevemente
/spazio./) Non di curvatura dello spazio-tempo, che non è costante in
punti con diverso eta."
[e non è nulla, sottinteso ovvio]

> Quello che il tizio che mi criticava, non ricordo chi fosse, non
> capisce è che puoi passare dalla metrica di Lorentz a quella
> cosmologica FLRW a sezioni spaziali euclidee sia agendo direttamente
> sul fattore di scala con una trasformazione conforme
Una trasf. conforme *non è* una trasf di coordinate, ed è ovvio che
trasforma uno spazio-tempo in un altro, con diversa metrica.
Per es. nella geometria del piano una trasf. conforme manda il piano
euclideo in una sfera, che non è euclidea.

> ma ANCHE agendo sulle coordinate con una trasformazione di
> coordinate dinamica.
Invito CC a farci dono delle formule di codesta trasf. di coord.
dinamica.
Per dissipare qualsiasi possibile ambiguità, per "trasf. di
coordinate" (senza aggettivi) dello spazio-tempo io intendo un insieme
di 4 funzioni f0,f1,f2,f3 delle cordinaete (x0,x1,x2,x3) che fa
passare alle (y0,y1,y2,y3) con le formule
y0 = f0(x0,x1,x2,x3)
ecc.
Le funzioni non possono essere arbitrarie, almeno nel senso che in
oppurtuni aperti dei due spazi debbono essere invertibili.

> Questa trasformazione di coordinate, allo stesso modo della
> trasformazione di Langevin rompe la covarianza generale.
> Quindi sia lo spazio-tempo di Langevin sia quello cosmologico - FLRW
> a sezioni spaziali euclidee - NON sono lo spazio-tempo di Lorentz.
Io dico che questo è proprio sbagliato.
Nel caso di Langevin siamo davanti a una trasf. di coord. del tipo che
ho sopra descritto, quindi il tensore di Riemann, nullo nelle vecchie
coordinate, resta nullo nelle nuove.
Nel caso FLRW io dico che la trasf. di coord. *non esiste* (e aspetto
che CC mi smentisca) quindi il tensore di Riemann può fare quello che
vuole, o meglio quello che gli impone la metrica.

> Movimento globale uguale energia aggiunta uguale sorgente di
> curvatura, così che l'osservatore solidale al movimento globale
> "vede" lo spazio-tempo curvo. Non c'è dunque motivo, come dici tu,
> di usare un termine diverso da "tempo proprio". Si tratta di due
> tempi propri diversi in due spazi-tempi diversi.
Questo non lo commento perché irrilevante, ho già spiegato perché
-- 
Elio Fabri
Received on Wed Jan 31 2024 - 17:15:04 CET

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