Re: quesito su forza di Lorent e relatività

From: <cdalcin_at_libero.it>
Date: Thu, 23 Jan 2014 13:31:54 -0800 (PST)

Il giorno martedì 14 gennaio 2014 21:04:58 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:

>
> Pensa a un filo rettilineo (neutro) percorso da corrente costante.
> Intorno al filo c'e' un campo magnetico statico.
> Una carica in quiete rispetto al filo (rif. S) non sente nessuna forza.
> Ma nel rif. S' la carica si muove e quindi sente la forza di Lorentz...
> Bisogna dimostrare che in S' c'e' anche un campo elettrico, la cui
> sorgente e' nel filo.
> Ossia bisogna dimostrare che in S' il filo *appare carico*, con la
> giusta densita' di carica.
>
> Sai come si fa?


Si', adesso lo so,
come ringraziamento, e ad uso di qualche lettore/visitatore del mio livello scolastico, riporto il mio percorso.

Per prima cosa ho fatto il percorso inverso rispetto a quello che voleva Elio.
Supponendo che in S la corrente formata da flusso di sole cariche positive, in moto con velocità u (in direzione delle x positive), so che:
1)Circuitazione di Ampere--> B= mu0*I/(2Pigreco*D)
2) I= Qpiu/dt = Qpiu/L*L/dt = LAMpiu*u
dove LAMpiu è la densità delle sole cariche positive in moto.
In S il filo è neutro
3) LAMpiu + LAMmeno =0

In S' (in moto rispetto ad S con velocità v<<c nel verso negativo dell'asse x)le leggi di trasformazione suggeritemi da Giorgio Bibbiani mi dicono:
4)E' = vB
5) B'= B (tra l'altro questo, da circuitaz di Ampere, implica I'=I cosa che ho trovato interessante)
Inoltre:
6) Gauss--> E' = eps0*LAM'/(2Pigreco*D)
dove LAM' è la densità lineare di carica del filo.
da 4) 6) 1) 2) si ricava:
7) LAM'=LAMpiu*u*v/c^2

Poi sono passato a cercare di applicare la contrazione relativistica delle lunghezze, che è quello che voleva Elio.

Ho pensato che in S ci fossero due binari, in uno c'e' un treno di vagoni fermi con le cariche negative, tutti sono lunghi L, ciascuno trasporta una carica -Q.


Sull'altro binario parallelo c'e' un treno di vagoni che trasportavano cariche positive: vagoni tutti della stessa lunghezza L (misurata in S) e ciascuno con la stessa carica +Q. Questo treno è in moto con velocità u.
La lunghezza propria di questi vagoni è
8) Lpiu0 = L/SQRT(1-U^2)
Avendo posto per semplicità V=v/c U=u/c e indico con SQRT la radice quadrata.

In S' i vagoni negativi risultano lunghi
9)Lmeno'=L*SQRT(1-V^2)
da cui
10)LAMmeno'= Q/Lmeno'= LAMmeno/SQRT(1-V^2)

In S' vagoni vagoni positivi risultano lunghi
10) Lpiu'= Lpiu0*SQRT(1-(V+U)^2) = L*SQRT(1-(V+U)^2)/SQRT(1-U^2)
avendo usato la composizione galileiana delle velocità e la 8).
Da cui
11) LAMpiu' = Q/Lpiu' = LAMpiu*SQRT(1-U^2)/SQRT(1-(V+U)^2)

Ora: LAM' = LAMpiu'+LAMmeno'
sostituendo la 10) la 11) e considerando la 3) risulta:
LAM' = LAMpiu*(robaBruttaPienaDiRadici)

E qui mi sono depresso, perchè era una espressione ben diversa dalla 7)

Ma il giorno stesso è arrivato il post di Tommaso Russo con il link a dei problemi simili, dove c'era il trucco: le radici possono essere approssimate perchè U e V tendono a zero: SQRT(1-U^2)=1-0,5*U^2

Facendo queste approssimazioni, con un paio di passaggi algebrici e avendo cura di trascurare U e V rispetto all'unità (nei fattori al denominatore), e trascurare U^2*V^2 rispetto a U*V (al numeratore),
la (robaBruttaPienaDiRadici)diventa uguale a U*V.
Cosi' e' riapparsa la 7)
LAM'=LAMpiu*u*v/c^2
e io ho gioito ;-)

Spero solo sia giusto!
Ciao.
Carlo
Received on Thu Jan 23 2014 - 22:31:54 CET