Scrivevo ieri:
> Ora non posso, ma se trovo un po' di tempo ti farò vedere come si fa
> il calcolo generale, anche con notazioni un po' più semplici.
Approfitto del fatto che sono bloccato a casa dalla piena dell'Arno, per
scrivere il calcolo che dicevo.
Dovremo far uso di tre riferimenti:
1) Quello "del laboratorio", che chiamerò K, nel quale è fermo il filo
e quindi la sue cariche positive (perché tu hai messo ferme le cariche
negative?)
In K le cariche negative (elettroni) si muovono con velocità u
(negativa, se vogliamo una corrente positiva).
Sempre in K la carica di prova si muove con velocità v (di che segno,
non importa).
2) Quello in cui sono ferme le cariche negative, che chiamerò K'.
3) Quello in cui è ferma la carica di prova: lo chiamo K0.
Voglio dimostrare:
a) che in K0 il filo appare carico
b) che di conseguenza, sempre in K0, la carica di prova è soggetta a
una forza che si ottiene dalla forza che si misura in K con la giusta
legge di trasformzione.
Indicherò con Lp la densità lineare delle cariche positive in K, con Ln
quella delle cariche negative.
Dato che il filo è neutro, sarà Lp + Ln = 0.
La corrente in K vale I = Ln*u ( >0, perché tanto Ln quanto u sono
negative).
Il campo B (in K) vale
B = [mu0/(2 pi r)] * I
(antiorario attorno alla corrente) e la forza agente sulla carica di
prova q è F = qvB in modulo; la direzione è radiale, verso il filo.
Passiamo a K'. Qui avremo due densità Lp', Lm', che sono connesse a Lp,
Lm dalla contrazione di Lorentz. Posto
g(u) = sqrt(1 - u^2/c^2)
sarà
Ln' = Ln / g(u) (1)
(il perché lo sai: la carica è invariante, quindi le densità lineari
si trasformano in modo inverso alle lunghezze).
Il rif. K' serve solo come intermediario per arrivare a K0.
La velocità v' di K0 rispetto a K' si ottiene dalla legge di
trasformazione delle velocità:
v = (v' + u)/(1 + u*v'/c^2)
o se preferisci, usando U = u/c, V = v/c, V' = v'/c:
V = (V' + U)/(1 + U*V').
Viceversa,
V' = (V - U)/(1 - U*V). (2)
Allora:
Lp0 = Lp * g(v)
Ln0 = Ln' * g(v')
e per la (1))
Ln0 = Ln * g(v') / g(u).
Dunque in K0 c'è una densità di carica L0 non nulla:
L0 = Lp0 + Ln0 = Lp * g(v) + Ln * g(v') / g(u) Ln [g(v') / g(u) - g(v)] = Ln [g(v') - g(u) * g(v)] / g(u).
Ti dimostro sotto l'identità
g(v') = g(u) * g(v) * (1 - U*V) (3)
da cui
L0 = -Ln * g(v) * U * V = -I * g(v) * V/c (4)
(nota che L0 < 0 se v > 0).
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Dimostrazione dell'identità.
Calcoliamo 1/g(v')^2 = 1 - V'^2. Per la (2)
1 - V'^2 = 1 - (V - U)^2 / (1 - U*V)^2 [(1 - U*V)^2 - (V - U)^2] / (1 - U*V)^2 [(1 - U*V) - (V - U)] * [(1 - U*V) + (V - U)] / (1 - U*V)^2 (1 - V)(1 + U)(1+ V)(1 - U) / (1 - U*V)^2 (1 - V^2)(1 - U^2) / (1 - U*V)^2 (1/g(v)^2) * (1/g(u)^2) * (1/(1 - U*V)^2).
g(v')^2 = g(v)^2 * g(u)^2 * (1 - U*V)^2.
Estraendo la radice quadrata ottengo la (3).
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In K0 abbiamo dunque un campo elettrico
E0 = 1/(2pi eps0 * r) * L0 = -[1/(2pi * eps0 * c^2 * r)] * I * v * g(v)
che produce su q la forza
F0 = -[1/(2pi * eps0 * c^2 * r)] * q * I * v * g(v).
Il segno - significa che la forza (radiale) è diretta verso il filo.
Confrontando con F si vede che
F0 = F * g(v)
in direzione e verso (occorre usare c^2 = 1/(eps0 * mu0)).
Come mai c'è il fattore g(v)?
Questo fattore è sempre presente, quando si trasforma la forza agente
su un punto materiale, passando dal rif. K0 in cui il punto è fermo a
quello K in cui ha una velocità v, se F è ortogonale a v.
Non credo che tu abbia mai visto queste leggi di trasformazione, ma
dato che ho già scritto molto, non posso dare la dimostrazione.
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Elio Fabri
Received on Fri Jan 31 2014 - 21:52:47 CET