Re: Vasi comunicanti

From: cometa_luminosa <alberto.rasa_at_virgilio.it>
Date: Tue, 10 Jun 2014 08:22:13 -0700 (PDT)

Il giorno luned́ 9 giugno 2014 18:27:37 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
[...]
> rho g dV (2h - H) = 1/2 rho dV v^2,
> da cui ancora l'equazione precedente.
>
Ti dico come avevo fatto io perche' mi sembra mi venga in modo differente e non so perche'.
(N.B. Scrivero' piu' cose perche' esplicitero' anche quelle che non avevi scritto per snellire il tuo post).

Indico con:
"A" l'area (costante) della sezione trasversale dei serbatoi,
"a" l'area (costante) della sezione trasversale del tubo,
"rho" la densita' dell'acqua e per il resto uso gli stessi simboli che hai usato tu, in particolare: k = a/A.
Assumo il liquido incomprimibile e quindi l'equazione di continuita':

-A*dh/dt = a*v

 v = -(1/k)* dh/dt (1)

L'altezza finale h_f dell'acqua nei serbatoi vale, considerando che parte dell'acqua uscita va anche a riempire il tubo:

h_f = 1/2 (H+k*L); se si trascura la lunghezza del tubo, h_f = 1/2 H.


inoltre faccio ancora l'ipotesi di poter trascurare l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, rispetto all'energia cinetica dell'acqua complessivamente uscita dal primo.
___________________________________________________________________

Valuto la validità dell'ipotesi che ho appena scritto sopra:

L'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi vale:

1/2 rho*A*h*(dh/dt)^2 + 1/2 rho*A*(H-h-k*L)*(dh/dt)^2 = 1/2 rho*A*(H-k*L)*(dh/dt)^2.

L'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal primo serbatoio vale, usando anche la (1):

1/2 rho*A*(H-h_f)*v^2 = 1/4 rho*A*(H-k*L)*(dh/dt)^2 / k^2.

Il rapporto tra la prima e la seconda vale:

2k^2.


dunque questo rapporto si puo' rendere piccolo quanto si vuole, rendendo k piccolo quanto si vuole (sezione tubo molto piccola rispetto alla sezione dei serbatoi).
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Per evitare di dover considerare nel problema anche l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, (che lo complicherebbe eccessivamente) occorre allora prendere k << 1.

L'energia totale a t = 0 vale:

E = (m*g)*H/2 = (rho*A*H*g)*H/2 = 1/2 rho*g*A*H^2


(m*g)*H/2 perche' se la superficie libera dell'acqua in un serbatoio si trova ad una altezza H, tutta la massa d'acqua nel serbatoio si trova ad un'altezza media pari a H/2.

L'energia ad un istante t generico durante lo svuotamento del primo ed il riempimento del secondo vale:

E = 1/2 rho*g*A*h^2 + 1/2 rho*g*A*(H-h-k*L)^2 + 1/2 rho*A*(H-h)*v^2 =

 = 1/2 rho*g*A*(2h^2 + H^2 + k^2*L^2 -2H*h - 2H*k*L + 2h*k*L) +

+1/2 rho*A(H-h)* (dh/dt)^2 / k^2

conservazione dell'energia:

1/2 rho*g*A*H^2 = 1/2 rho*g*A*(2h^2 + H^2 + k^2*L^2 -2H*h - 2H*k*L + 2h*k*L) +

+1/2 rho*A(H-h)* (dh/dt)^2 / k^2

-->

(H-h)* (dh/dt)^2 / (g*k^2) + 2h^2 + 2(k*L-H)*h + k^2*L^2 - 2k*L*H = 0

A questo punto, per semplificare il problema, utilizzo una lunghezza L trascurabile del tubo:

(dh/dt)^2 = 2g*k^2 *(H*h-h^2) / (H-h) = 2g*k^2 * h

-->

dh/dt = - k*sqrt(2g) * sqrt(h)

Integro tra H e H/2:

sqrt(H/2) - sqrt(H) = - k*sqrt(2g) * Deltat

-->

Deltat = [(sqrt(2)-1)/k]*sqrt(H/g)

--
cometa_luminosa
Received on Tue Jun 10 2014 - 17:22:13 CEST

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