Re: Meccanica analitica ( 01 ) : energia cinetica

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sun, 29 Nov 2009 15:43:35 -0800 (PST)

On 15 Nov, 23:05, Carmen Arvale <carmen.arv..._at_katamail.it> wrote:
> Enigma del giorno: energia cinetica.

> Trovo, invece, un po' stiracchiato il ragionamento
> con il quale si dimostra che la forma T_2 e' definita
> positiva: si dice che 'congelando' i vincoli, i termini
> T_1 e T_0 spariscono e rimane la sola T_2 che per
> ovvie ragioni fisiche deve assumere valori positivi
> o nulli (essendo non singolare la matrice dei coefficienti,
> nullo se e solo se sono nulle le velocita' generalizzate).
>
> Non mi sembra 'elegante' sto' congelamento dei vincoli:
> si perviene ad un risultato che appare un po' 'allegramente'
> generalizzato alla situazione che si presenta dopo il disgelo.

Forse non � elegante l'immagine evocata, ma dal punto di vista
analitico si pu� dire altrettanto bene come l'altra argomentazione, su
cui si fonda. Occorrerebbero una certa quantit� di precisazioni come
il fatto che si suppone che le coordinate siano definite come
applicazioni da aperti di R^m sulle mappe di un atlante della variet�
funzionale immersa in R^n individuata tempo per tempo dai vincoli, ma
Gantmacher evita tutte queste precisazioni per la prima dimostrazione
quindi si suppone che ti vada bene anche per la seconda che si sta
considerando il caso che esistano della funzioni:

r1 ( q1, ... ,qm,t)
...
r_n(q1, ..., qm, t)

che verificano i vincoli funzionalmente indipendenti:

f1(r1, ... r_n, t)

---
f_(n-m)(r1, ... , r_n, t)
> C'e' modo formalmente rigoroso di acquisire la tesi partendo
> dalla sola definizione di energia cinetica e dalle relazioni
> che legano coordinate nello spazio fisico con quelle nello
> spazio delle configurazioni ?
 Tornando al punto in questione il congelamento dei vincoli equivale a
dire che per ogni istante T esiste un sistema dinamico scleronomo che
ha la stessa matrice di massa del sistema dinamico olonomo.
L'esistenza di questo sistema si deduce formalmente dalla
considerazione della definizione della matrice di massa a_i,j
confrontandola con quella che risulta assumendo come
parametrizzazione  le funzioni:
 r1(q1,  ..., qm, T)
...
r_n(q1, ... , qm, T)
che quindi verificano le equazioni vincolari:
f1(r1, ... r_n, T)
---
f_(n-m)(r1, ... , r_n, T)
indipendenti dal tempo, che si hanno ponendo nelle equazioni vincolari
olonome in luogo della variabile t la costante T. Poich� la matrice di
massa ovvero la forma bilineare esplicitata in coordinate q � scritta
tanto per il sistema olonomo quanto per il sistema scleronomo in
termini delle derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate
calcolate al tempo T, e non dipende dalle derivate parziali rispetto
al tempo, deve essere uguale.
 Ora la matrice di massa del sistema olonomo deve essere definita
positiva, in caso contrario nel sistema scleronomo ottenuto avremmo un
vettore non nullo degli spostamenti spaziali, corrispondente al
vettore di velocit� associato alle coordinate generalizzate in
direzione di un autovalore negativo, a cui si pu� associare un vettore
non nullo che ha  norma euclidea nulla.
> Sodales atque omnes legentes ex animo saluto.
> Carmen Arvale

Received on Mon Nov 30 2009 - 00:43:35 CET