Re: parametri fisicamente trattabili

From: Tommaso Russo, Trieste <trusso_at_tin.it>
Date: Fri, 04 Dec 2009 16:41:38 +0100

Luciano Buggio wrote:
> Confesso che (e mi sembra naturale viste le mie scarse conoscenze del
> linguaggio matematico) che da un bel po' non riesco a seguire gli
> sviluppi della discussione sulla mia equazione.

Anzitutto ripeto la considerazione di Karpov: "Non e' il massimo
dell'eleganza prendere cappello da una discussione perche'
si e' in palese difficolta' e ripresenterla in altri lidi."

Anche perche' tutto questo mondo e' paese, e i frequentatori di quei
lidi sono adusi a veleggiare di porto in porto.

> La funzione
> V =- a/r ... la possiamo considerare, dimenticando
> la fisica, semplicemente la cornice (o meglio, lo sfondo) di un quadro
> cinematico, ove non si parla *mai* di massa.

V e' energia per unita' di massa: che, te lo concedo volentieri, ha le
dimensioni del quadrato di una velocita'.

> Dato un valore arbitrario ad a, * si impone* che un *punto* (non ha
> senso, nel senso che � perfettamente pleonastico ed inutile,
> aggiungere"dotato di massa") collocato in un punto del campo sia
> soggetto ad una accelerazione diretta verso il centro e proporzionale
> alla derivata del potenziale in quel punto

Ti stai avvicinando pericolosamente a qualcosa che, se avrai il coraggio
di guardarlo in faccia, ti dara' le vertigini. Che non sono sempre una
sensazione negativa.

> Detto cos�, le dimensioni saranno semplicemente quelle dello spazio e
> del tempo

Queste considerazioni filosofico/epistemologiche sarebbero estremamente
interessanti se enunciate da qualcuno che padroneggia profondamente la
meteria sottostante. Quando le leggo scritte da te, devo rileggere
attentissimamante ogni tua frase, per eliminare il sospetto che tu stia
  proclamando un errore clamoroso, cosa che hai fatto piu' volte
proseguendo poi imperterrito per pagine e pagine di ragionamento errato.

Non qui, non finora.

> Non si � parlato, nel definire i concetti in gioco, n� di massa n� di
> forza... questo non appare nemmeno un approccio dinamico
> (nel senso della dinamica elementare): � solo cinematica.

> Per un pelo non � solo geometria (ma abbiamo introdotto il tempo).

E qui credo proprio che tu non ti sia reso conto ne' della profondita'
di quello che hai scritto, ne' della profondita' affascinante
dell'abisso su cui ti sei affacciato.

> Era Geometria (analitica, cartesiana) per� finch� consideravamo solo
> la curva (e gi� allora potevamo parlare della sua derivata prima e
> seconda e terza, tutte cose della geometria analitica, e senza parlare
> di Forza

Esatto: avevi uno spazio 3D in cui ogni punto individua tre distanze:
quella dal piano yz, che chiamiamo x; quella dal piano xz, y; quella dal
piano xy, z. Assegnamo dei versi agli assi x,y,z, e le tre distanze
possono assumere valori negativi: sono diventate coordinate
(cartesiane). Lo spazio e' euclideo (lo sappiamo dalle misure) e vale il
teorema di Pitagora. Il quadrato della distanza fra due punti, ds^2, e'
dx^2+dy^2+dz^2. E questo vale in *qualsiasi* sistema di riferimento
cartesiano, comunque sia orientato, ovunque sia la sua origine.

Per individuare un preciso evento che accade in un dato punto, introduci
un quarto parametro, il tempo. Sei uscito dalla geometria: x,y,z,t non
definiscono uno spazio omogeneo, t si misura con orologi, non con
righelli, e in secondi, non in metri. Ma *puoi rientrare* nella
geometria. *SE* esiste una costante universale che ti consenta di
misurare anche gli intervalli di tempo in metri.

Le equazioni di Maxwell e il principio di Relativita' Speciale ti dicono
che c'e': e' c. Poni c=1, e misuri anche il tempo in metri. Puoi sempre
riportarti a secondi: un intervallo temporale di 1 metro, reso in
secondi, e' il tempo che la luce impiega a percorrerlo. Ma intanto hai
incorporato il tempo in uno spazio geometrico. A 4 dimensioni,
ovviamente: una piu' di prima.

In questo spazio, il primo pricipio della DINAMICA assume una forma
geometrica particolarmente semplice: il centro di massa di un corpo
lontano da altre masse e lasciato a se stesso percorre una traiettoria
nello spazio 3D, trovandosi a ogni istante in un punto diverso. La sua
traiettoria nello spazio 4D e' una successione di eventi: "ora il corpo
e' qui". La successione di eventi (la "linea universo" del corpo) *si
trova su una linea retta*. Nello spazio 4D.

Ci sono dei problemi. Per un sistema di riferimento in moto rettilineo
uniforme, secondo le trasformazioni di Galileo, le distanze lungo l'asse
t non cambiano mai: il tempo e' universale, l'istante presente, per
tutti i sistemi di riferimento siffatti e' il piano passante per
t=adesso. Fra due eventi, non simultanei, dt non cambia, ma dx e/o dy
e/o dz si'. La distanza ds^2 = dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 NON E' sempre la
stessa. E neanche c=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)/dt rimane sempre pari a 1.
Bisogna ridefinire le trasformazioni.

Le trasformazioni di Lorentz fra sistemi di riferimento in moto
rettilineo uniforme ripristinano la costanza di c in ognuno di loro. La
distanza euclidea continua pero' a variare da riferimento a riferimento.
Cerchiamo una nuova definizione della distanza fra due eventi, che sia
invariante per trasformazioni di Lorentz: la troviamo. E' ds^2 =
dt^2-dx^2-dy^2-dz^2. Per un corpo fermo, dx=dy=dz=0, risulta ds^2 =
dt^2. ds e' il suo *tempo proprio*.

Con questa nuova definizione di distanza fra eventi, le linee rette non
sono piu' curve di lunghezza massima, ma di lunghezza minima. Sono
comunque curve di lunghezza estremale. Le chiamiamo geodetiche.

Stai descrivendo tutte le relazioni fra sistemi in moto rettilineo
uniforme in termini *puramente geometrici*. E lo fai nello spaziotempo
di Minkowski. Uno spaziotempo piatto: a curvatura nulla.

Ora consideri un sistema di riferimento uniformemente accelerato con
accelerazione 9,8 m/s^2 (il famoso ascensore di Eintein, nello spazio
vuoto, che crea una "gravita' artificiale" accelerando "verso l'alto").
Sorpresa (ma c'era da aspettarselo): le linee universo dei corpi
lasciati a se stessi non sono piu' linee rette. Gia' le loro proiezioni
nello spazio 3D non lo sono, salvo casi particolari: risultano piuttosto
delle parabole. (E questo vale *anche* per i raggi luminosi che per un
sistema inerziale si propagano il linea retta.)

Pero' queste linee universo *continuano* ad essere linee di lunghezza s
massima. I ds fra due eventi notevoli sono il tempo proprio di un
orologio *in moto inerziale* che si trova a coincidere con entrambi, e
continuano ad avere sempre lo stesso valore. Gli orologi lasciati a se
stessi che passano per entrambi segnano un'ora quando sono sul primo,
un'altra quando sono sul secondo, e queste ore devono venir lette
identiche in *qualsiasi* sistema di riferimento.

Evidentemente, cambiando le coordinate abbiamo cambiato anche la
metrica. Le distanze ds fra due eventi non sono piu' ds^2 =
dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 ma piuttosto ds^2 = g_00dt^2-dx^2-dy^2-g_33dz^2, con
g_00 e g_33 NON eguali dapertutto. Bisogna trovarla, e la si trova: e'
la metrica di Rindler. E con considerazioni sulla metrica di Rindler si
prevede che un fotone emesso dal tetto dell'ascensore e assorbito dal
pavimento subisce un blue shift.

Nota che *anche con la metrica di Rindler* lo spaziotempo ha *curvatura
nulla*. Due rette parallele per un sistema inerziale (linee universo di
due corpi che si muovono nella stessa direzione con la stessa velocita')
non hanno alcun punto in comune: e quindi non hanno alcun punto in
comune nemmeno le geodetiche in cui si trasformano quando viste
dall'ascensore in accelerazione. *Questo* significa curvatura nulla.

Il principio di Relativita' Generale dice che, *per piccoli spazi ed
esperimenti di breve durata*, la "gravita' artificiale" non e'
distinguibile dalla gravita' naturale come quella che sperimentiamo
quotidianamente sulla Terra.

E infatti: se trasportiamo l'ascensore accelerato dallo spazio sulla
superficie della terra, finche' gli esperimenti si limitano a lasciar
cadere qualche penna sul pavimento, nessuno si accorge della differenza.
Che quando c'e', rimane regolarmente al di sotto delle accuratezze delle
misure. Anche il bue shift dovuto al campo gravitazionale e' stato
verificato (Pound e Rebka) con un esperimento in un edificio alto 23
metri, dando lo stesso risultato calcolato per un sistema di riferimanto
accelerato.

Ma se le osservazioni possono spaziare su distanze piu' ampie e durate
superiori, la differenza si vede, eccome! I nostri sperimentatori
possono osservare due meteoriti provenienti dallo spazio esterno
esattamente con la stessa velocita' e in direzione esattamente parallela
al loro filo a pendolo. In uno spaziotempo piatto, le loro linee
universo non hanno alcun punto in comune. Ma nel campo gravitazionale
terrestre, i due meteoriti possono benissimo seguire due traiettorie
(spaziali) iperboliche che le porti a collidere (a trovarsi nello stesso
punto nello stesso istante).

Conclusione: per descrivere lo spaziotempo in prossimita' della terra (o
di una stella) *bisogna* ricorrere ad una metrica che implica *curvatura
non nulla*.

Quella che si puo' dedurre dalla legge di Newton descrive le geodetiche
dei corpi in transito con buona approssimazione. La metrica di
Schwarzschild le descrive con approssimazione migliore.


> Ora supponiamo di scrivere l'equazione di un'altra qualsiasi curva, al
> posto di a/x , una f(x), sempre positiva...
> *Se la mia equazione venisse scritta con un solo parametro libero, a,
> lo stesso che compare nell'espressione del primo termine (dimensionato
> fisicamente come volete), ci sarebbero problemi di "trattabilit�
> fisica"?*

Veramente, tu non "sostituisci" ad a/x una funzione diversa, conservi
a/x come "primo termine" e *le sommi* un termine aggiuntivo. Questo,
qualche vincolo te lo impone.

Qui affronti il secondo dei due problemi che hanno fatto riflettere
Einstein: se la conoscenza della metrica dello spaziotempo ci consente
di prevedere il moto dei corpi lasciati liberi, cosa ci consente di
prevedere la metrica dello spaziotempo?

Se le forze che conosciamo fossero limitate a quella gravitazionale,
come ti ostini a considerare nelle tue trattazioni galattiche
(tralasciando la maggior parte delle quotidiane esperienze fisiche di
ognuno) la risposta sarebbe: *nulla*. Se le forze che conosciamo
fossero limitate a quella gravitazionale, potremmo fare a meno del
concetto di Forza. I moti dei corpi sarebbero determinati solo dalla
geometria. Vivremmo in un mondo dove le traiettorie geometriche di
qualsiasi corpo sono quello che sono - ma sempre le stesse, a parita' di
condizioni iniziali - , e potremmo solo misurarle per dedurne una
metrica che ci consenta (sperando che resti la stessa) di prevedere
quelle future.

Ma conosciamo (e benissimo!) anche *altre* forze. Sono quelle che
mantengono la materia in forme strutturate, particelle, atomi, molecole,
cristalli. Sono quelle che consentono (o impongono) a una molla di
mantenere la sua forma a spirale, il che ci consente di *definire* una
forza in funzione della sua deformazione. E' in base a loro che abbiamo
potuto *definire* la massa dei corpi, ipotizzare e verificare la sua
costanza (il Secondo Principio della Dinamica), che avendo a che fare
solo con effetti gravitazionali sarebbe una pura tautologia. E in base a
loro abbiamo potuto ipotizzare e verificare anche il Terzo Principio.

Che *deve* applicarsi anche alle forze gravitazionali. Perche', se due
corpi lasciati liberi tenderebbero ad andare l'uno verso l'altro, li
puoi mantenere ad una distanza costante interponendo fra loro una molla
sottoposta a compressione (p.es., ogni automobile moderna ne ha
quattro). Ed una molla esercita *la stessa* forza a entrambe le sue
estremita'.

Ne consegue (come ti ha gia' detto in parte Karpov):

- che il tuo "a" *deve* essere proporzionale alla massa al centro del
potenziale: a=kM;

- che *tutto* il potenziale deve essere proporzionale alla massa al
centro del potenziale, perche' quanto detto sopra sulla molla vale per
*qualsiasi* distanza x (che ti invito per chiarezza a chiamare r);

- che quindi qualsiasi potenziale ipotizzabile *deve* avere la forma
    V(r) = kM (1/r + f(r))

  - dove f(r) deve avere le dimensioni dell'inverso di una lunghezza (o
di un tempo!), come 1/r;

  - dove f(r) *deve* essere lo stesso per qualsiasi massa;

  - dove f(r) *deve* contenere una o piu' costanti universali con le
dimensioni di una lunghezza (o di un tempo).

Rispetta questi vincoli e fai pure tutte le ipotesi che vuoi. Al massimo
saranno falsificate dai risultati sperimentali.

-- 
TRu-TS
La cultura costa.
Ma l'incultura costa molto di piu'.
Garcia Lorca
Received on Fri Dec 04 2009 - 16:41:38 CET

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