Re: Elettrodinamica classica.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sat, 17 Oct 2009 12:32:38 -0700 (PDT)

On 10 Ott, 09:19, Elio Fabri <fa..._at_df.unipi.it> wrote:
> From: Tetis <lje..._at_yahoo.it>
> Newsgroups: it.scienza.fisica
> Subject: Elettrodinamica classica.
> Date: Sun, 4 Oct 2009 18:14:35 -0700 (PDT)
>
> Tetis ha scritto:> Due sfere concentriche cariche con carica +Q e -Q rispettivamente sono
> > in moto periodico, non sono ferme, le due sfere possono,
> > eventualmente, attraversarsi. Ho alcune questioni da porre:
> > ...
>
> Scusa ma io non capisco dove sia il problema, che a me sembra banale.
> Anche generalizzandolo: ho una distrib. di carica a simmetria sferica,
> che puo' variare nel tempo in modo qualsiasi, con la sola condizione
> che la carica totale resti costante.

Ok, ho centrato la difficolt�: il problema, non banale :-))), � che
non basta imporre che la carica totale resti costante per garantire
che la soluzione delle prime due equazioni risolva anche le altre due.
Occorre, e per necessit� logica, (della quale non sono tuttavia certo,
vedi la questione finale), direi basta, che sia verificata l'equazione
di continuit�.

Questo perch�: da un lato io richiedo che le soluzioni nel loro
complesso devono essere causali, in virt� del fatto che so che una
soluzione causale esiste (almeno per il caso di dinamica sub-luminale
delle sorgenti ma forse questa richiesta ulteriore pu� essere evitata,
vedi la questione finale), tuttavia le prime due equazioni in
simmetria radiale in generale ammettono anche soluzioni non causali,
nel caso che si consideri una dinamica di cariche non continua: per
esempio accendendo simultaneamente due densit� di carica uguali e
contrarie su due gusci distanti.

 In conclusione il ragionamento corretto �: considerata una dinamica
delle correnti in accordo con l'equazione di continuit� (che �
condizione necessaria che discende dalle equazioni di Maxwell) esiste
una soluzione causale delle equazioni di Maxwell a campi radiali
evanescente all'infinito (verifico direttamente la condizione di
causalit� nei campi e di radialit� dalla rappresentazione in termini
di potenziali ritardati). Ma in ogni istante di tempo questa soluzione
deve anche verificare la prima e la seconda equazione di Maxwell:

div(E) = rho
div(B) = 0

le risolvo e trovo che queste equazioni ammettono una ed una sola
soluzione a simmetria sferica. Questa soluzione � parametrizzata
univocamente dalla carica centrale e quindi la soluzione causale, in
termini cio� di potenziali ritardati, delle equazioni di Maxwell deve
coincidere con la soluzione elettrostatica. C'� da osservare infine
che l'equazione di continuit� non implica che il moto delle sorgenti
sia sub-luminale. Ma nemmeno le equazioni di Maxwell implicano ci�? A
partire dall'esempio considerato, con la soluzione in termini di
potenziali ritardati, rimane, mi sembra, l'onere di provare che le
equazioni di Maxwell rimangano verificate per moto superluminale delle
cariche. Non potrebbero, infatti, sorgere problemi di regolarit� dei
potenziali ritardati calcolati per via integrale (ho questo dubbio
perch� so che ci sono problemi di caustica per il caso delle
particelle Cherenkov e per il caso dei moti supersonici)? Se questo
fosse il caso nemmeno l'equazione di continuit� basterebbe a garantire
che la soluzione elettrostatica � soluzione delle equazioni di
Maxwell.

Se invece si provasse che anche nel caso di moto iperluminale i
potenziali ritardati rappresentano una soluzione delle equazioni di
Maxwell allora avremmo provato che la condizione di continuit� � la
sola condizione ulteriore (rispetto alle ordinarie condizioni
dell'elettrostatica) da richiedere perch� la soluzione elettrostatica
coincida con la soluzione, causale nei campi, del problema di Maxwell
completo. Direi che anche se rimane aperta questa domanda ulteriore il
tuo contributo � risultato utilissimo a raggiungere questo grado di
chiarezza. Ti ringrazio moltissimo, ed aspetto impazientemente un
ulteriore commento, magari ho complicato troppo la faccenda, oppure �
davvero complicata?

> Allora
> a) B=0 dovunque
> b) E si calcola istante per istante via teorema di Gauss, cal valore
> istantaneo della distribuzione di carica.
>
> I due fatti seguono da div B = 0, div E = rho.
> Basta osservare che E e B non soltanto sono radiali, ma hanno modulo
> che dipende solo da r.
>
> --
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> Elio Fabri
> c/o Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Oct 17 2009 - 21:32:38 CEST