Re: problema gas statistica

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 26 Oct 2009 12:20:40 -0700 (PDT)

On 26 Ott, 00:50, wiso <gtu2..._at_alice.it> wrote:
> qualcuno sa risolvere questo?
>
> Un gas di N particelle identiche distinguibili non interagenti a temperatura
> T � contenuto in un volume V.
> �i) Supponendo che ogni particella abbia massa nulla, si calcolino la
> funzione di partizione, l'energia libera e l'energia interna del sistema e
> si determini l'equazione di stato.
> �ii) Supponendo che la relazione fra energia E ed impulso p di ogni
> particella abbia la forma �E=ap^l (con a e l reali e positivi) si
> riesprimano le grandezze di cui al punto i)
>
> io direi che la funzione di partizione � semplicemente la definizione:
> �Z = sum_j Exp[ -E_i/kT ]
>
> il resto � vuoto

B� si tratta di calcolare la funzione di partizione tenendo presente
che nel caso di particelle di massa nulla (ammesso questo improbabile
vincolo di conservazione del numero di particelle) vale la relazione E
= cp. Il volume di fase � dato da 4pi p^2 dp V / h^3 e l'integrale
della funzione di partizione per singola particella � quindi, a meno
di una costante che deriva dal calcolo dell'integrale di x^2 e^(-x),
user� sempre h in luogo di \hbar:

Ti scrivo la risposta fra questi spazi nel caso volessi calcolartela
da solo e poi confrontare la risposta, il testo continua dopo:
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z = 8pi V(kT/hc)^3 Spoiler
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La funzione di partizione di singola particella, vista l'ipotesi di
indipendenza per il sistema di N particelle e l'ipotesi di
distinguibilit� � quindi Z = z^N . Una volta ottenuta la funzione di
partizione come calcoli l'energia? E' semplice noti che gli addendi
della funzione di partizione sono proporzionali alle probabilit� del
corrispondente valore di energia cp. Pertando derivando ln(Z) rispetto
a (-1/kT) risulta l'energia media del sistema. A conti fatti trovi:

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E = 3NkT Spoiler
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questo � il teorema di partizione nel caso di particelle
ultrarelativistiche, noterai che il valore di energia interna per
particella � doppio rispetto al caso di particelle sub-relativistiche.
Esiste in effetti una funzione di interpolazione fra i due numeri che
richiede di calcolare un integrale un poco pi� difficile che coinvolge
exp(-sqrt((mc^2)^2 -(cp)^2)) con il solito elemento di volume. Il
risultato � una funzione di Bessel di tipo K che ha un valore
asintotico per piccoli valori di m esattamente doppio del valore
asintotico per grandi valori di m.

A questo punto non rimane che calcolare l'energia libera che �
espressa come E - TS. Conviene per� prima ricordare l'intepretazione
appena data della funzione di partizione e la definizione
probabilistica di entropia S = k log(W), che riespressa in termini dei
microstati � - k <log(p_n)>. L'entropia � il valore medio del
logaritmo della probabilit� cambiato di segno. Quindi poich� la
probabilit� di un microstato di energia E �: exp(-E/kT)/Z. Risulta:

  S = k <- Log(exp(-E/kT)/Z) > = <E/T> + klog(Z).

E poich� l'energia libera vale:

F = E-TS = E - E - kT log(Z) = -kT log(Z) = - NkT log(Z).

una volta ottenuta questa formula. Ora ricordiamo che il teorema di
conservazione dell'energia prende la forma:

dE = - pdV + TdS

e quindi:

dF = d(E-TS) = -pdV - SdT.

per cui la pressione risulta dalla derivata parziale dell'energia
libera rispetto al volume tenendo costante la temperatura. A conti
fatti troverai:

p=NkT/V

ovvero l'equazione di stato � la stessa che nel caso non
relativistico. Questo non sorprende perch� si tratta di un teorema
generale nel caso di particelle indipendenti che discende dalla
generalizzazione del teorema di partizione.

Nel caso E = a p^l dopo che scrivi l'integrale trovi che la
sostituzione di variabili che rende l'integrale omogeneo � y = (a/kT)^
(1/l)p e quindi risulta:

z = A (kT/a)^(3/l) V / h^3.

dove A � l'integrale di y^2 exp(-y^l), che non importa sapere quanto
vale, grazie ai logaritmi di tutte le espressioni che contano e
quindi:

F = -NkT log(z)
E = (3/l) NkT
e l'equazione di stato � la stessa di prima:

pV = NkT.


Nel caso dei fotoni non � pi� applicabile lo schema canonico perch� il
numero di particelle non � conservato, occorre ragionare in schema
gran canonico e fare attenzione alle regole di conteggio dei
microstati che non sono le stesse come nel caso di particelle
distinguibili. Come � noto nel caso di fotoni l'equazione di stato e
correlata alla legge di Stefan.
Received on Mon Oct 26 2009 - 20:20:40 CET