Re: GR e conservazione energia-imp.

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 8 Jun 2009 23:52:42 -0700 (PDT)

On Jun 7, 10:32�pm, g..._at_gam.it (Gamow) wrote:
> Ciao a tutti.
> Sono sicuro che l'argomento 1) e' stato gia' trattato,
> ma non sono riuscito a ritrovare il thread..
> Sarei contento anche se come risposta poteste fornirmi il link..
>
> 1)La faccenda riguardava la conservazione energia impulso in GR.
> � Elio e Valter avevano discusso molto a riguardo mi pare
> � dicendo che la faccenda non era "banale"..
> � Purtroppo non ricordo molto altro.


Ciao, dipende da cosa intendi per "conservazione" . In GR
conservazione del tensore energia impulso significa
nabla_a T^{ab} =0
Questa in realt�, nel caso generale, non � l'equazione di
conservazione di niente! Si chiama in questo modo perch� in SR (se T^
{ab} � simmetrico) � la conservazione di 10 quantit� scalari che
ottieni integrando le componenti di T^{0i} e x^iT^{0j} - x^jT^{0i}
(i,j=1,2,3) su una ipersuperficie a x^0=t costante: queste grandezze,
se valgono le equazioni del moto del sistema sono conservate nel
tempo. La forma locale di queste leggi di conservazione � appunto
nabla_a T^{ab} =0.

Applicando il principio di equivalenza e passando in GR si assume (e
si prova vero sotto opportune ipotesi, come la validit� della
formulazione lagrangiana), che
 nabla_a T^{ab} =0
continui a valere.
Tuttavia, non � facile associare a tale T^{ab} "conservato" delle
grandezze globali (= integrate su qualche superficie di tipo spazio)
che si conservano.

Se per� hai a disposizione un campo vettoriale di Killing X (e questo
� una propriet� dello spaziotempo in questione che pu� o non pu�
essere soddisfatta), l'equazione di Killing

nabla_a X_a + nabla_b X_b =0

messsa insieme a

 nabla_a T^{ab} =0

con T^{ab} = T^{ba}

implica che la corrente

J^a := T^{ab}X_b

soddisfi l'equazione di conservazione

nabla_a J^a =0

Da questa equazione, se integri J su due 3-superfici di tipo spazio
(contraendo J^a con il versore n_a normale alla superficie...) hai
facilmente, se T^{ab} si annulla rapidamente all'infinito spaziale,
che l'integrale di J sulle due 3-suprfici � uguale.
Questo corrisponde a dire che l'integrale di J^a n_a � conservato. In
particolare se sezioni lo spaziotempo con una classe di tali 3-
superfici di tipo spazio che non si intersecano mai (questo � vero se
lo spaziotempo � globalmente iperbolico) e rappresentano lo spazio di
un riferimento a tempi diversi, hai proprio un vincolo di
conservazione in senso usuale. L'energia in questo riferimento viene
definita come l'integrale di J^an_a...

Cosa succede se lo spaziotempo non ammette vettori di Killing (nemmeno
conformi)? Come � possibile definire l'energia?
Sicuramente non per la via che ho esposto sopra. Tuttavia, mi �
capitato di vedere spesso idee euristiche di energia...

> 2) Altra breve domanda. In un vecchio intervento, Valter diceva che
> � �gli spazi globalmente iperbolici sono + "complicati". Cosa
> � �intendevi esattamente?
>

Quello che ho scritto sopra!

> 3) Domanda nuova, credo. Nella formulazione lagrangiana della GR,
> � �variando l'azione rimane un termine di bordo che non si dovrebbe
> � �buttare.

Se lo butti hai, per esempio problemi quando fai il path integral, per
cui � meglio tenerselo.

> Scrivendo l'azione in un altro modo, lo si puo' rendere nullo
> � �e ottenere le equazioni di Einstein corrette.
> Tale termine di bordo ha un significato fisico?

Non sono un esperto di queste cose, ma penso di si. per esempio, come
dicevo sopra viene fuori quando costruisci il path integral per la
gravit� (almeno nel formalismo euclideo) e senza di quello le cose non
funzionano...

> E nel caso di teorie con lagrangiana = f(R), R=ricci scalar, f di
> solito un polinomio, come si tratta il problema?
> Siccome non sappiamo che equazioni dobbiamo raggiungere, chi ci dice
> che dobbiamo buttare i termini di bordo?

A questo � completamente fuori dalla mia attivit� di ricerca. In ogni
caso io ho paura che quando si cominciano a considerare lagrangiane
pi� complicate si riesca dire tutto ed il contrario di tutto. Con un
numero sufficiente di parametri si fitta qualunque cosa. Per questo
non "credo" molto alle teorie f(R). Un discorso pi� serio su termini
aggiunti a R viene fuori dalla rinormalizzazione. Quando rinormalizzi
un campo nello spaziotempo curvo i controtermini vengono fuori
proporzionali alle curvature e l'equazione di Einstein deve essere
modificata in modo molto preciso. Certi termini sono quadratici o
peggio nelle curvature e producono soluzioni rapidamente espansive.
Voglio dire che forse l'espansione osservata anche adesso potrebbe
essere un effetto quantistico.
Ti cito a tal proposito un articolo su questo fatto di tre miei
colleghi:

C. Dappiaggi, K. Fredenhagen, N. Pinamonti: Stable cosmological models
driven by a free quantum scalar field Phys.Rev.D77:104015,2008.

Ciao, Valter
Received on Tue Jun 09 2009 - 08:52:42 CEST