Come al solito ricorro alla vostra saggezza per chiedere lumi su questioni
che mi ottenebrano alcuni momenti della giornata.
Ho scritto un programmino per integrare le equazioni del moto per un sistema
di "pianeti" usando un semplice algoritmo di velocity Verlet che garantisce
che le costanti del moto del problema continuo siano costanti del moto per
l'approssimazione discretizzata. Con costante di gravitazione universale
posta arbitrariamente pari ad 1, considero quattro punti materiali disposti
ai vertici di un quadrato di diagonale lunga duecento unit�. Se i pianeti si
muovono inizialmente in direzione ortogonale alle diagonali, con versi
concordi (orario o antiorario rispetto al centro del quadrato), con uguali
velocit� le orbite descritte sono rigorosamente ellittiche ed ottengo
infatti delle bellissime orbite a forma di quadrifoglio.
Se per�, ponendo masse unitarie, e velocit� di 0,1 per i pianeti lungo una
diagonale e 0,099 per i pianeti ortogonali all'altra diagonale ottengo una
curiosa danza. In un primo momento due pianeti (quelli lungo uno stesso
lato) si allontanano a coppie orbitando uno intorno all'altro, dopo per�,
poich� il momento angolare totale � conservato le due coppie si
riavvicinano. A questo punto dopo una rapida danza al centro dello schermo
si vedono due pianeti che rimangono in un orbita stretta uno intorno
all'altro, ed altri due pianeti che si allontanano in opposte direzioni.
Noto che per pochissimo che cambi il valore da 0,099 a 0,0991 non mi riesce
di riottenere i due pianetini stretti al centro, per taluni valori si
ottengono due coppie di pianeti che si allontanano orbitando uno intorno
all'altro in modo che il loro centro di massa venga asintoticamente a
descrivere un'iperbole. Per altri valori si vedono pianeti avvicinarsi
talmente da far pensare a collisioni ed in quel caso l'attendibilit� del mio
programma che ha un passo di integrazione fisso e nessuna regolarizzazione �
pressoch� nulla.
Guardano le equazioni quello che si pu� dire � che questo sistema, cos�
congegnato, pu� essere ridotto in prima istanza ad una lagrangiana che
dipende da quattro coordinate generalizzate (basta considerare le coordinate
polari di un solo pianeta per ogni coppia). I momenti coniugati relativi
alle coordinate angolari theta1 e theta2, per�, sono null'altro che i
momenti angolari rispetto al centro, separatamente non sono conservati ma la
loro somma � conservata. A ben vedere in effetti le coordinate generalizzate
che occorrono sono quindi solamente tre: le distanze di due pianeti dal
centro e l'angolo relativo fra i loro vettori. La trasformazione canonica
adatta non dovrebbe essere difficile da trovare.
Al momento non trovo altri integrali del moto, a parte l'energia, per
ridurre la dimensionalit� del sistema. In questo modo rimangono 5 gradi di
libert�, mi sembra. Che cosa ne pensate? E' possibile che il sistema sia
caotico in questi gradi di libert�? Oppure per quella particolare condizione
iniziale che sto considerando si pu� sperare di separare analiticamente lo
spazio dei parametri secondo l'esito conclusivo del moto. Altra questione:
osservo spesso situazioni che sono molto prossime ad una collisione, ma
anche Arnold sostiene un argomento elementare che ho pensato per scartarle
nella generalit� dei casi. I gradi di libert� in una collisione diminuiscono
di due unit� per il moto piano, quindi la variet� lungo cui si hanno
collisioni � bidimensionale. Rispetto a questo argomento sono un poco
perplesso perch� se il moto � effettivamente caotico questa variet� potrebbe
non essere analitica, ma trattandosi della parola di Arnold sono certo di
essere in errore.
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Received on Sat Jun 06 2009 - 01:37:12 CEST