problema di Goursat, dipendenza continua dai dati al bordo.

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 6 Jun 2009 06:02:04 -0700 (PDT)

A momento lavoro sul gruppo modulare (Tomita-Takesaki) di un
doppiocono per la teoria di di campo di Klein-Gordon massiva nello
spaziotempo piatto.

In tutta questa storia mi sono imbattuto una volt� di pi� nel
malefico problema di Goursat o problema di Cauchy caratteristico, del
quale vorrei chiedere bibliografia se ne conoscete.

Si tratta di risolvere un'equazione differenziale iperbolica,
tipicamente quella di Klein-Gordon o D'alembert (ma anche non
lineare), assegnando il valore della funzione su una superficie
caratteristica, nel caso in esame un cono luce, intendo la
*superficie* del cono... e la soluzione si cerca dentro il cono (fuori
dalcono il problema � malposto).

Nel problema di Cauchy standard uno assegna il valore del campo e
della sua normale su una ipersuperficie di tipo spazio. Se lo
spaziotempo � fatto bene (globalmente iperbolico) e i dati iniziali
sono abbastanza regolari, la soluzione esiste, � unica, e dipende con
continuit� dai dati iniziali rispetto a certe topologie di Sobolev.

Nel caso del problema di Goursat viene dato un unico dato: il valore
del campo, sulla superficie caratteristica e non viene dato altro. Si
prova che sotto opportune ipotesi (lavorando in intorni geodeticamente
convessi, o ovunque se lo spaziotempo � quello di Minkowski),
assegnando il valore del campo sul cono si ha una ed una sola
soluzione dentro il cono che si raccorda a tale dato.

L'unica dimostrazione seria che conosco � quella di F.G. Friedlander
nel suo libro sulle equazioni d'onda nello spaziotempo curvo. Ecco il
punto: non conosco nessun risultato sulla dipendenza continua dal dato
iniziale, bench� io abbia cercato per giorni in biblioteca e su
mathematical reviews.

Voi vi siete mai imbattuti in tale problema ed avete qualche referenza
utile?

Ciao, Valter
Received on Sat Jun 06 2009 - 15:02:04 CEST