Re: Si può confrontare la relatività ristretta e quella di Lorentz, con l'esp. Hafele Keating?

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sun, 19 Apr 2009 21:03:17 +0200

Dino ha scritto:
> ...
> Quindi ho preso atto che il calcolo del ritardo teorico dovuto alla
> velocit� degli aerei, viene effettuato calcolando il ritardo teorico
> dell'orologio sulla superfice della terra rispetto ad un ipotetico
> orologio posto nel centro della terra, e poi il ritardo teorico
> dell'orologio che ha circunavigato la Terra, sempre rispetto a quello
> ipotetico del centro della Terra. E poi facendo la differenza dei
> risultati ottenuti.
> Questo perch� il centro della terra viene considerato come un sistema
> di riferimento inerziale.
Fin qui e' chiaro, e siamo d'accordo.

> Per�, considerando l'esistenza dell'etere immobile e, quindi dello
> spazio e tempo assoluto (citando la relativit� di Lorentz, mi riferivo
> a questo), i ritardi teorici (per poi calcolare la differenza tra di
> essi) andrebbero calcolati rispetto all'etere immobile e non rispetto
> al centro della Terra. Inoltre la velocit� dell'aereo rispetto a
> quella dell'orologio rimasto a Terra non andrebbe calcolata in base
> alla lunghezza della circonferenza della Terra, ma in base a quella
> del doppio diametro della Terra.
A questo punto mi sono fermato (spero che mi perdonerai) perche' il
resto si puo' spiegare in modo abbastazna semplice, e si dimostra che
non c'e' speranza per quello che dici, ossia poter trovare la
velocita' dalla Terra rispetto all'etere.

Ora cerco di dimostrarlo. Spero che ti riesca di seguire i calcoli,
che sono relativamente semplici, ma richiedono un po' di pratica.
Indico con u la velocita' della Terra rispetto al'etere, che suppongo
costante.
Indico con v la velocita' dell'aereo rispetto al centro della Terra (e'
detto male, ma mi adatto alle tue espressioni).
A differenza di u, v varia nel tempo *come vettore*.

La velocita' dell'aereo rispetto all'etere sara' u+v (somma
vettoriale). Nota che questo non e' esatto, ma lo possiamo ammettere
valido se u e v sono piccole rispetto a c. Altrimenti il calcolo si
complica, ma credimi sulla parola che il risultato finale non cambia.

Prendiamo il tempo T (di etere) in cui l'aereo fa un giro.
Il tempo segnato da un oroglogio solidale al centro della Terra sara'

T' = t/sqrt(1-u^2/c^2)

mentre quello T" segnato dall'orologio sull'aereo sara' l'integrale da
0 a T di

dt/sqrt(1 - |u+v|^2/c^2).

Ora teniamo presente l'ipotesi che u e v sono << c: allora

1/sqrt(1 - u^2/c^2) =~ 1 + u^2/(2c^2)

1/sqrt(1 - |u+v|^2/c^2) =~ 1 + |u+v|^2/(2c^2)
1 + (u^2 + v^2 + 2 u.v)/(2c^2) (u.v e' il prodotto scalare).

Integrando questo su t, troviamo

T + (u^2 + v^2)*T/(2c^2)

perche' nell'ultimo termine e' tutto costante tranne v, e l'integrale
di v (vettore) in un giro fa zero.
Vedi facilmente che sottraendo i due tempi ottieni v^2*T/(2c^2), che
*non contiene u*.

E' vero che il risultato e' approssimato, ma il termine piu'
importante che ho trascurato e' dell'ordine di (u/c)^2 * (v/c)^2 * T.
Anche se prendi u = 300 km/s, v = 500 m/s, T = 2x10^5 s, questo vale
circa 2x10^(-12) s, che e' inapprezzabile.

Ma in realta' non e' neppure cosi', perche' come avevo detto la
velocita' dell'aereo rispetto all'etere non e' u+v.
Se si usasse la corretta "legge di composizione", la differenza si
cancellerebbe completamente.

Non c'e' neppure bisogno di fare il calcolo, perche' l'espressione che
stiamo calcolando e' *invariante per trasf. di Lorentz* e quindi dara'
certamente lo stesso risultato sia nel rif. dell'etere sia in quello
del centro della Terra.

Per finire, ti suggerisco una lettura:

http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/aq.relat/aq-relat-lez-pdf.zip
(le figure stanno in aq-relat-fig-pdf.zip).

E' un ciclo di mie lezioni sulla relativita', tenute nel 2000 nei
pressi dell'Aquila. Le lezioni 8 e 9 sono proprio dedicate all'esper.
di Hafele e Keating.
                         

-- 
Elio Fabri
Received on Sun Apr 19 2009 - 21:03:17 CEST

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