Il 27 Feb 2009, 07:27, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> Grazie al contributo di molti, si e' concluso che:
>
> \int B(r) d^3 = \mu_B
>
> dove B(r) e' il campo generato da una particella di forma arbitraria e
> con magnetizzazione M(r) non necessariamente uniforme, dipende dalla
> geometria scelta nell'integrazione. Valutando l'integrale su una regione
> finita, e facendo poi il limite fino ad estendere il dominio in tutto lo
> spazio, non si arriva a un risultato unico. Cio' e' conseguenza della
> natura non assolutamente convergente della quantita' in questione.
> Chiamando
>
> \mu = \int M(r) d^3r
>
> il momento magnetico associato alla particella, si ha che se il dominio
> di integrazione e' una sfera contenente la particella, il risultato e'
>
> \mu_B = 2/3 mu0 \mu
>
> Se il dominio di integrazione e' un cilindro di altezza infinita
> contenente la particella, il risultato e'
>
> \mu_B = 1/2 mu0 \mu
In particolare vorrei riportare, in queste conclusioni, l'attenzione su
alcuni aspetti matematici di questo risultato, che mi sembrano molto degni
d'attenzione, partendo dalla tua impostazione riguardo il caso di
magnetizzazione uniforme, nel caso particolare di magnetizzazione ortogonale
all'asse di simmetria cilindrica, ho proceduto ad una riformulazione: la
magnetizzazione si scriver�, scegliendo y come asse di magnetizzazione:
- 4\pi M (0,1,0) Chi(x,y,z) + grad [d/dy ( \ int M Chi(x',y',z')/|r-r'|
d^3r')]
E' una semplice identit� vettoriale legata ai tensori antisimmetrici:
dove M � il modulo della magnetizzazione, Chi � la funzione caratteristica,
r = (x.y,z) r' = (x',y',z'), ed ho usato unit� c.g.s.
L'oggetto:
( \ int M Chi(x',y',z')/|r-r'| d^3r')
� ben conosciuto ed � l'integrale scalare coulombiano. La procedura di
integrazione lungo z va fatta dopo avere calcolato il gradiente pi� esterno
e poich� nella terza componente di questo gradiente compare la derivata
rispetto a zeta l'integrale di questa componente � immediato da valutare e
vale zero. Per quanto riguarda le altre due componenti si potrebbe essere
tentati di portare l'integrale in dz dentro il segno di derivazione rispetto
ad d^2/(dxdy) ma questo non � possibile perch� questo integrale in dz non
convergerebbe, in quanto va asintoticamente come 1/z. Diversamente possiamo
valutare l'integrale in zeta della derivata rispetto ad y di 1/|r-r'| che �
la componente y di un campo di dipolo prima di integrare in x',y',z'.
Dopodich� procedendo all'integrazione in zeta ed in zeta' ottengo:
- 4 pi M (0,1,0) spessore(x,y) + 2 grad_ro [ (\ int M spessore(x',y')
[(y-y') / |ro - ro'|^2]dx' dy'.
dove ro=(x,y) sono le coordinate bidimensionali. Questo corregge un errore
che avevo commesso in una prima stesura che ho inviato ieri: Re: verifica
campo dipolare proiettato 27 Febbraio 2009 ore 4.46. In particolare adesso
il secondo termine, per effetto dell'applicazione del gradiente e cambio del
sistema di unit� riconduce all'espressione che ottenevi tu in MKSA:
Bp(x,y)=B/(2\pi) \int dx'dy' [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2 \int D(r',z') dz'
per il campo esterno. Adesso per� abbiamo di nuovo la possibilit� di
utilizzare una preziosa qualit� matematica dell'integrale, dal momento che
il supporto della funzione spessore(x',y') � limitato possiamo cambiare
l'ordine delle derivate e riscrivere tutto come:
- 4 pi M (0,1,0) spessore(x,y) + grad_ro Md/dy {\ int spessore(x',y') [ln(
|ro - ro'| )]dx' dy'}
in particolare l'ultimo integrale adesso � finalmente riconoscibile come il
potenziale scalare bidimensionale che risolve l'equazione di Laplace con
sorgente 2pi spessore(x',y'). Applicando Md/dy abbiamo il corrispondente
potenziale di dipolo, ed il gradiente di questo potenziale � il campo di
dipolo.
In simmetria cilindrica la parte esterna dell'integrale del campo di dipolo
in coordinate polari � nulla dopo l'integrazione sugli angoli, in esatta
analogia con il caso sferico. E rimane solamente l'integrale del campo
interno che nel caso del cilindro di altezza h � uniforme e pari a 2pi
M(0,1,0) h.
Quindi in effetti, una volta arrivati qui si pu� riformalizzare il tutto
come se si avesse a che fare con una particella dipolare bidimensione,
usando la funzione delta bidimensionali come avevamo visto per il caso
tridimensionale con il termine di contatto di Fermi, ma non � stato banale
arrivare a questo livello, comunque una volta riposto il problema in questo
modo si vede che non c'� problema se anzich� una magnetizzazione uniforme
avessimo avuto una magnetizzazione variabile nel dominio, avremmo potuto
definire una magnetizzazione proiettata:
M_p (x,y) == \int M(x,y,z) dz
ed avremmo ottenuto per il campo magnetico:
B(x,y) = - 4 pi M_p (x,y) + grad_ro {\ int M_p.grad_ro [ln( |ro - ro'| )]dx'
dy'}
come di consueto si pu� passare dalle derivate in ro alle derivate in ro',
cambiando segno ed ottenendo:
B(x,y) = - 4 pi M_p (x,y) + {\ int M_p^i (x',y') d_i' d_ j' [ln( |ro - ro'|
)]dx' dy'}
moltiplicando per una funzione test, prima di procedere ad integrare in x,y
ed integrando una volta per parti e passando in coordinate polari ottenere
un contributo 2pi delta(x-x',y-y') M(x',y') f (x,y) ed un contributo di
dipolo:
[f(x,y) (2(m.ro).ro - m ro^2)/r^4] da integrare ulteriormente. In
conclusione possiamo dare un significato distribuzionale ben preciso alla
proiezione del campo magnetico prodotto nel limite di distribuzione
puntiforme di momento di dipolo m:
B_p (x,y) = - 2pi m delta (x,y) + (2(m.r)r-mr^2)/r^4.
se aggiungiamo l'osservazione che i momenti di multipolo pi� elevati,
prodotti da una distribuzione di particelle dipolari che si accumula in un
punto con carica di dipolo finita, si azzerano per via delle diverse
propriet� di riscalamento.
Questo risultato consente di definire un metodo di proiezione piuttosto
potente in quanto la proiezione integrale preserva, quando � resa lecita
dalle propriet� di convergenza degli integrali, la natura armonica dei campi
liberi proiettati, e quindi anche le potenzialit� del metodo dei multipoli,
mi sembra che sia un risultato oltrech� non banale piuttosto meraviglioso,
se si pensa al fatto che il campo prodotto da una distribuzione piana di
cariche lungo il piano non � di per s� un campo solenoidale, mentre risulta
esserlo la sua proiezione integrale.
Ringrazio Hypermars per avere proposto l'argomento e Bruno per la pazienza
con cui ha illustrato, enucleato e delucidato alcuni punti controversi oltre
a fornire un pressante stimolo senza il quale la consuetudine di Hypermars
con l'argomento sarebbe rimasta cripticamente arroccata nella sua precisione
algebrica, preclusa alla mia pigra e superficiale disposizione alla lettura.
> Se l'integrazione viene fatta per piani perpendicolari a \mu, il
> risultato e'
>
> \mu_B = 0
>
>
> In microscopia elettronica, dove il segnale registrato e' la proiezione
> del campo lungo un asse, il risultato fisicamente significativo e' il
> secondo (cilindro contenente la particella). I dati sperimentali
confermano.
>
> Grazie a tutti, in particolare a Bruno e Tetis.
>
> Bye
> Hyper
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Received on Sat Feb 28 2009 - 00:12:44 CET