Re: Un teorema inquietante.

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Sun, 8 Mar 2009 18:07:23 +0100

"Teti_s" <"te..."_at_libero.it> wrote in message
news:155Z185Z123Z26Y1236386955X1140_at_usenet.libero.it...
> Il 06 Mar 2009, 19:46, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
>
> > Abbiamo visto che sul cilindro infinito (con il dipolo messo sull'asse)
> > l'integrale vale 2*PI*m.
>
> Occorre precisare: con dipolo ortogonale all'asse, altrimenti la
> componente proiettata del campo magnetico lungo zeta pu� non essere nulla.
> Anzi se lungo la linea si incontra magnetizzazione � certamente non nulla
> per� quel che io trovo � che il solo contributo alla componente zeta pu�
> derivare dal campo di magnetizzazione incontrato.

Non ho capito bene cosa vuoi intendere.
Io sul cilindro infinito trovo che l'integrale di B vale 2*PI*m se m e'
ortogonale all'asse, trovo 4*PI*m se m e' parallelo all'asse (il che
significa che se m non e' ne' parallelo ne' ortogonale all'asse del
cilindro, allora l'integrale del campo sul cilindro non sara' parallelo a
m).
In particolare non capisco la frase "il solo contributo alla componente zeta
pu� derivare dal campo di magnetizzazione incontrato."

> In questo io ho escluso, come abbiamo
> fatto in tutto questo thread la possibilit� di densit� di sorgenti
> quadrupolari.

Caspita, anche qua non capisco. Ma non stavamo parlando di sorgenti
qualsiasi?
Tanto e' vero che io ho detto che i risultati suddetti valgono per cilindri
di raggio R>>a dove a sono le dimensioni delle sorgenti. Che e' il punto sul
quale tanto Hyper che tu avete obiettato e io, almeno per il momento, non
sono riuscito a trovare argomentazioni convincenti. Continua a sembrarmi
strano che l'ipotesi R>>a si possa rimuovere, ma certo, se non trovo
argomenti decisivi ne' a favore della mia tesi, ne' contro le vostre
obiezioni alla fine dovro' arrendermi.

Per il resto scusami ma io non riesco a seguire le dimostrazioni che dai
perche' spesso non capisco le formule. Immagino che siano in formato TeX,
che pero' non conosco. Mi sono quindi accontentato di sapere che trovavi
risultati in accordo con quelli che trovavo io, e, sull'unico punto ancora
aperto (quello della rimozione dell'ipotesi R>>a; almeno e' ancora aperto
per me, poi tu e Hyper ne avete aperto un altro che non ho ben capito se e'
stato anche chiuso), prima di analizzare per bene le tue obiezioni, come
quelle di Hyper, preferisco rifletterci ancora un po' per conto mio per
vedere se riesco a trovare una qualche argomentazione decisiva.

Il motivo per il quale non mi piace un discorso tipo
"ma tanto i campi di multipolo successivi proiettati sono tutti ..."
e' che *prima* vanno considerati i contributi di tutti i multipoli,
poi, sommato tutto, si puo' mandare al limite l'altezza del cilindro. Tutti
i multipoli superiori al momento di dipolo potrebbero avere, su cilindri di
raggio R e altezza h, contributi infinitesimi in R/h, pero', per opportuna
distribuzione di multipoli, la somma di tutti i contributi potrebbe non
essere infinitesima in R/h. Magari una cosa del genere e' impossibile (o e'
possibile solo per sorgenti ipotetiche, irrealizzabili nella realta', che
diano contributi multipolari tali da rendere la somma non infinitesima in
R/h), pero' io, siccome non mi sento sicuro su questo punto, preferisco non
proiettare prima di aver sommato tutti i contributi.

Jackson incappa anche lui in un problema analogo. Nel discorso che fa alla
pag. 165 della seconda edizione, fra le equazioni [5.60] e [5.61], ad un
certo punto dice:

"Sostituendo ad A [il potenziale vettore], la sua espressione [5.32] e
*scambiando l'ordine delle due integrazioni* si ottiene [...]"

cioe' Jackson prima integra su tutto il volume il campo dovuto alle sorgenti
messe nel punto x', poi somma i contributi di tutte le sorgenti.
Puo' darsi che sia io a farmi troppi problemi, pero' non vorrei che lo
scambio di ordine degli integrali Jackson possa farlo perche' sta operando
su un dominio di integrazione finito. Il che significherebbe che noi
potremmo anche fare il calcolo alla maniera del Jackson solo finche' teniamo
h finita.
Insomma, potrebbe darsi che su un dominio di integrazione infinito fare il
calcolo prendendo prima l'integrale di una sola sorgente (ad esempio la J
che sta nel punto x', oppure la parte di sorgenti che da' luogo al momento
di multipolo n-esimo) poi integrando su tutte le sorgenti, dia un risultato
diverso da quello che si avrebbe eseguendo il calcolo secondo il corretto
ordine di integrazione (cioe' prima prendendo in un punto il campo dovuto a
tutte le sorgenti, poi integrando il campo ottenuto su tutto il dominio).

Qualcosa di simile al teorema di Fubini originario. Magari la teoria
matematica ci soccorre e ci dice che si puo' fare. Io, per il momento, sto
puntando sul fatto che non si possa fare perche' mi pare incredibile che la
tesi possa valere rimuovendo l'ipotesi R>>a. Pero', siccome e' anche
incredibile la tesi che il Jackson dimostra sulle sfere, puo' darsi
benissimo che si abbia un'altra tesi incredibile sui cilindri infiniti (con
R che deve semplicemente essere maggiore di a, anche se non >>a), in
sostanza che siano due aspetti della stessa incredibilita', la cui origine
fisica sara' probabilmente nel teorema di Gauss.

> > Se non ho fatto errori, mi viene, in coordinate *cilindriche*:
> >
> > Bz = (3/2) Q |z| (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
>
> Non pu� essere

eh si', era brutto in effetti quel |z|, ma Mathematica mi diceva Sqrt(z^2)
... e infatti me lo diceva perche' me lo doveva dire. Ero io che avevo messo
un arcotangente per individuare un angolo che, siccome ero in coordinate
polari, andava da 0 a PI. Ma l'arcotangente va da -PI/2 a PI/2. Mettendoci
l'arcocoseno, cioe' esprimendo correttamente l'angolo, si ottiene il
risultato corretto, cioe' quello con la z al posto di |z|.

> In particolare facendo il
> conto in coordinate cartesiane trovo che la derivata terza rispetto a zeta
> del potenziale 1/r � proprio: z (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).

ah ma per trovare la componente z del campo dovuto al multipolo
(l,m=0)-esimo basta fare la derivata (l+1)-esima rispetto a z di 1/r ?
E magari c'e' qualche altra scorciatoia per le componenti x e y ?

Scusa eh, magari dovrebbero essere cose arcinote, ma io con questi multipoli
non ho mai avuto una gran pratica.

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sun Mar 08 2009 - 18:07:23 CET

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