Re: Conclusione thread problema magnetostatica

From: Teti_s <"te..."_at_libero.it>
Date: Mon, 02 Mar 2009 18:52:05 GMT

Il 01 Mar 2009, 10:44, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> On Feb 27, 11:12pm, "te..."_at_libero.it (Teti_s) wrote:
> >
> > Ringrazio Hypermars per avere proposto l'argomento e Bruno per la
pazienza
> > con cui ha illustrato, enucleato e delucidato alcuni punti controversi
oltre
> > a fornire un pressante stimolo senza il quale la consuetudine di
Hypermars
> > con l'argomento sarebbe rimasta cripticamente arroccata nella sua
precisione
> > algebrica, preclusa alla mia pigra e superficiale disposizione alla
lettura.
>
> :-)
>
> Non mi torna il segno meno della delta. Scritta cosi' sembra che il
> momento di B sia tendenzialmente opposto al momento magnetico. Non e'
> che hai utilizzato la struttura dei campi valida per polarizzazione
> invece che magnetizzazione?

Infatti ho sbagliato il segno, proprio per la confusione che mi fa sempre la
dizione campo di induzione magnetica e campo di induzione elettrica, che
hanno ruolo pressoch� scambiati, oltre che vincoli differenziali differenti.
La identit� corretta �:

B_p (x,y) = 4pi M_p(x,y) - grad(phi_M_p(x,y))

in particolare la proiezione della componente del campo magnetico ortogonale
non � nulla ma � pari alla componente zeta della magnetizzazione, mentre la
componente zeta del campo H � nulla. Questo spiega perch� Bruno trova per la
componente zeta integrata nel volume intero il valore 4pi m. E per la
componente trasversa la met� di 4pi m_|_ in quanto nel secondo caso
contribuisce la singolarit� della funzione di green di Coulomb del
potenziale magnetico. Per il campo di dipolo elettrico la componente zeta
del campo di induzione e del campo elettrico � nulla in assenza di sorgenti
libere e quindi la proiezione di una configurazione elettrostatica
tridimensionale � una configurazione elettrostatica bidimensionale (ma la
relazione fra i potenziali � problematica per via della divergenza
logaritmica). Nel caso magnetico passando per l'identit� che ho riportato
prima, si vede che residua una componente zeta del campo B, ma non una
componente zeta del campo H, in quanto per la componente H vige un'equazione
di Laplace (in assenza di sorgenti di corrente libera) e quindi c'� una
analogia parziale al caso elettrostatico. Ad ogni modo la componente zeta
del campo magnetico, integrata non � zero n� 2pi m, � invece 4pi m.

>
> Sarebbe interessante confrontare le due analisi, con M e P, per
> elucidare le differenze di fondo.

Infatti � quello che avevo fatto il giorno dopo, andando a rileggere in
dettaglio anche i calcoli fatti da Bruno e gioendo del fatto che mi spiegavo
a priori quell'integrale della componente zeta che nel caso elettrico �
assente e l� mi ero accorto di avere sbagliato il segno della
magnetizzazione.

> Un'altra domanda: ho sempre detto che il segnale sperimentale e' la
> proiezione di B lungo z, e da questa volevo misurare il valore (e
> orientazione) del momento magnetico m. Per essere piu' preciso, pero',
> il segnale sperimentale e' una funzione scalare phi(x,y) da cui si
> ricava Bp(x,y) tramite le relazioni
>
> Bp_x(x,y) = \partial_y phi(x,y)
> Bp_y(x,y) = -\partial_x phi(x,y)
>
> Queste relazioni derivano dal fatto che per definizione
>
> phi(x,y) = \int A_z(x,y,z)
>
> con A potenziale vettore.


Infatti, avevo capito che era questo che misuri per interferenza di fase, ma
non ero riuscito a chiarirmi come connettere l'analisi vettoriale fatta
prima con questa grandezza phi(x,y) che dipende solo da A_z e non da A_x ed
A_y. In effetti mi accorgo adesso che � semplice ottenere questa identit�
nel caso in cui i potenziali vettori y,x tendano a zero all'infinito. Quel
che � meno evidente � capire in che relazione siano il campo scalare
phi(x,y) con il campo phi_M_p(x,y) ed anche derivare la relazione fra
phi_M_p(x,y) e phi_M(x,y,z) � problematico, per via delle difficolt� a
scambiare integrali e derivate.

> La procedura di misura per come e' pensata consiste nel:
>
> 1) registrare phi(x,y)
> 2) calcolare il gradiente di phi(x,y)
> 3) integrare il gradiente di phi(x,y) in una regione circolare
> contenente la particella
> 4) si ottiene 1/2 mu0 mu
>
> E' possibile ottimizare la procedura evitando di passare per il
> calcolo del gradiente di phi(x,y)?

Non lo so. Dipende da cosa significa ottimizzare, ridursi alla misura sul
bordo di A � possibile, ma non mi sembra conveniente perch� riduci il numero
di dati sperimentali utilizzati a meno di prendere molti contorni
concentrici e mediare. Comunque non vedo un'uso di identit� di Green, una
semplice integrazione per parti, dopo avere applicato Fubini dovrebbe andare
bene se le ipotesi del teorema fondamentale dell'algebra sono verificate.
Nota che Fubini per domini limitati � applicabile. Piuttosto � dall'inizio
che mi porto un dubbio e qui mi sembra che sia essenziale: l'integrale di B
non dipende criticamente dai valori concentrati nei pressi e dentro la
particella stessa? Come fate a sommare con precisione quei contributi? Vi
favorisce forse la deflessione Lorentz?

> In fondo, calcolare il gradiente e poi integrarlo sembra un po' silly:
>
> \int Bp_y(x,y) dx dy = \int \partial_x phi(x,y) dxdy = \int dy \int dx
> \partial_x phi(x,y) = \int dy [phi(X,y)-phi(-X,y)]

In teoria fra il primo membro e l'ultimo non c'� differenza, se Bp_y(x,y) �
derivata di una funzione assolutamente continua (che non significa affatto
che la derivata � continua), ma in pratica pu� esserci differenza fra le
stime numeriche, ed inoltre per una sfera uniformemente magnetizzata dal
teorema della divergenza sai che la componente normale del campo � continua
al bordo, mentre la componente trasversa no, quindi il campo non � continuo
ma deriva da una funzione assolutamente continua. [ Il fatto che le
singolarit� di dipolo non puoi trattarle allo stesso modo, in quanto il
logaritmo|x| non � una funzione assolutamente continua e nemmeno le sue
derivate non sembra essere rilevante in questo caso perch� il procedimento
di limite da situazioni in cui vale l'assoluta continuit� avviene senza
scossoni al bordo]

> Insomma, secondo te c'e' modo di sfruttare tipo il teorema di Green o
> similari per ridurre il calcolo dell'integrale sul cerchio contenente
> la particella all'integrale sulla circonferenza di un qualcosa
> ottenibile direttamente da phi(x,y), il segnale sperimentale, senza
> dover passare per differenziazione numerica? (che amplifica il rumore,
> anche se poi viene reintegrata).

E' vero che amplifica il rumore ma poi questi rumori vengono mediati su una
grid pi� ampia. Comunque rimangono le perplessit� sul contributo della
magnetizzazione all'integrale. Per il resto non vedo come applicare il
teorema di Green a questa situazione. Anche gli integrali di Ahronov Bohm
sono, a prima vista, un'altro soggetto. Infatti rot(A)=B significa che la
circuitazione di A � pari al flusso di B, che � nel caso in specie 4pi m per
le componenti proiettate (ammesso che queste proiezioni possano essere
integrate preservando l'identit� rot(A) = B sulle componenti proiettate) ed
il teorema della divergenza ti garantisce che il flusso di B, prima della
proiezione, non dipende dalla sezione considerata. Per� tu non misuri la
circuitazione di A, in quando usi A_z e non A_x ed A_y :-) o si? Non � che
forse misuri met� dell'integrale di circuitazione integrando il campo
magnetico?

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Received on Mon Mar 02 2009 - 19:52:05 CET

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