Il 07 Feb 2009, 00:11, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> > N.B.: Che l'integrale sia nullo lo crediamo tutti. Il problema e'
> > quello di dare una definizione precisa di "integrale" in casi come
> > questo, e al momento non so rispondere.
>
>
> Ciao, secondo me non c'� alcun modo di definirlo che non sia "far
> venire a martellate un risultato che si
> vuole".
> C'� un teorema di Riemann che mostra che una serie che non converge
> assolutamente la si pu� far
> convergere a qualunque numero riordinandola (e se invece converge
> sempre alla stessa cosa sotto ogni riordinamento
> allora converge assolutamente).
Tempo fa avevamo discusso di un altro esempio di integrali non assolutamente
convergenti: gli integrali di Fresnel e le loro trasformate di Fourier. A
questo proposito c'� una circostanza che ha a che fare anche con quello che
dice Giorgio: Nonostante il teorema di Riemann l'integrale di Fresnel
diventa assolutamente convergente ogni volta che si raggruppano i termini di
integrazione in intervalli di una ampiezza minima fissata o dipendente da x.
Dopo che hai fatto questo non c'� verso di fare convergere l'integrale ad un
altro numero. Nel caso di integrali in pi� dimensioni i raggruppamenti
significativi possono essere pi� sofisticati nella loro struttura. Ad
esempio esistono funzioni per le quali un arrozzamento tramite reticolo a
grana d'insiemi compatti e scala minima fissata del dominio di integrazione
porta a valori univoci, questo non � per� il caso della funzione proposta da
Hypermars, per quanto l'integrazione in coordinate sferiche somigli a
qualcosa del genere. In termini generali le tre situazione prospettate da
Hypermars somigliano o rievocano in qualche modo la tecnica della
mollificazione della gamma convergenza che generalizza la tecnica di Riemann
limitato degli arrozzamenti in griglie di sottoinsiemi compatti in termini
pi� funzionali che aritmetici, tre metodi di mollificazione dell'integrale,
tutti legati in vario modo alle simmetrie del sistema. Non ho per� ben
capito il cenno al momento magnetico del campo magnetico esterno. Mi
immagino solo che un campo magnetico agendo su altri dipoli possa produrre
un campo magnetico secondario.
Credo sia abbastanza semplice fare lo
> stesso per un integrale
> che non sia assolutamente convergente si dovrebbe riuscire a farlo
> convergere a qualunque cosa aggiustando la procedura
> con cui si "calcola" l'integrale (basta, al limite decomporre
> l'integrale in una somma infinita di pezzi come una serie e poi usare
> la dimostrazione di Riemann). Io credo che non ci sia niente da
> fare...Io non credo che l'integrale sia nullo, credo che
> *l'integrale* non abbia senso e basta. Hanno invece senso *gli
> integrali* iterati o cose ancora pi� complicate, ma ogni
> procedura fornisce un risultato differente come deve essere.
>
> C'� ancora un modo di fare il calcolo che mi pare non avete
> considerato. Quello di usare il teorema della divergenza su volumi
> sempre pi� grandi che invadono tutto lo spazio.
> Prendiamo la componente B_z. Questo uno lo scrive come una divergenza
>
> _at__x C_x + @_y C_y + @_z C_z
>
> dove C_x= A_y, C_y = -A_x , C_z = 0
>
> Quindi
>
> Int_V B_z dxdydz = flusso attraverso
> il bordo di V di C
>
> Ora l'integrale di superficie sul bordo di V NON tende a zero per il
> campo dipolare per V che riempie lo spazio come si vede subito, perch�
> il campo C decresce come 1/r^2.ma la superficie cresce come r^2.
> Probabilmente si riesce a farlo tendere a qualunque cosa prendendo il
> volume (la classe dei volumi) V di forma opportuna...
>
> Ciao, Valter
>
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Received on Mon Feb 09 2009 - 02:27:04 CET