Re: Ma questa invarianza per riflessione ...

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 5 Feb 2009 13:32:08 -0800 (PST)

On 5 Feb, 21:22, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:

> La cosa meno banale e' dimostrare che per O(4) (e credo per tutti gli
> O(2n)) le componenti connesse sono soltanto 2.
> Oppure esiste una dim. immediata che non conosco?
>
> --
> Elio Fabri

Non mi ricordo bene, ma a naso credo che una strada sia la seguente.
Mettiamo su SO(2n) la topologia indotta da R^{2n}.
Basta ora dimostrare che SO(2n) � connesso per archi continui
(e � quindi connesso).
Infatti, questo implica che PSO(2n) � ancora connesso per archi dato
che
la moltiplicazione per la matrice P � continua.
(P � una matrice qualsiasi fissata una volta per tutte, diagonale con
un numero dispari di -1 sulla diagonale e un numero pari di 1)
SO(2n) e PSO(2n) devono essere sconnessi perch� il determinante
� discontinuo saltando da uno all'altro ed il determinante � una
funzione continua nella topologia di R^{n^2}.
Infine, se R � in O(2n), allora det R = 1 oppure det R =-1
e questo dimostra che l'unione di SO(2n) e PSO(2n) � tutto O(2n).

Quindi basta dimostrare che SO(2n) � connesso per archi continui.

Mi pare che ogni elemento R di SO(2n), con una trasformazione di
similitudine
si possa sempre ridurre ad una matrice a blocchi che ha sulla
diagonale
n matrici di rotazione 2x2.
Ciascuna di esse, con una curva continua di matrici (usando angoli
per
parametriazzare le matrici), si porta nella matrice identit� 2x2 I
oppure -I.
A questo punto � sufficiente provare che la matrice diagonale
complessiva
si porta con un curva continua di matrici sulla matrice identit� di R^
{2n}.
E questo mi pare sempre possibile considerando le tutte le matrici
2x2 diag (-1,-1)
che appaiono...

Per il gruppo di Lorentz il ragionamento cade subito perch� SO(1,3)
non � connesso,
ma bisogna prendere il sottogruppo ortocrono proprio SO(1,3)^. In quel
caso la connessione
si verifica con il teorema di decomposizione delle matrici di
Lorentz...


Ciao, Valter
Received on Thu Feb 05 2009 - 22:32:08 CET