Re: interessante problema di magnetostatica: senso fisico di un integrale non assolutamente convergente

From: Enrico SMARGIASSI <smargiassi_at_ts.infn.it>
Date: Fri, 06 Feb 2009 09:51:20 +0100

Hypermars wrote:

> Si vuole dare un senso a
> \int B(r) d^3r

L'integrale di volume esteso a tutto lo spazio di un campo magnetico (io
B lo chiamo cosi'), in assenza di correnti all'infinito, e' sempre
nullo. Piu' in generale, lo e' l'integrale di qualunque campo vettoriale
  a divergenza nulla che vada a zero all'infinito piu' rapidamente di
1/r. Avevo postato la dimostrazione qualche tempo fa, ma siccome il
mirabolante software di Google Groups non lo trova, rieccola:

Uso $ per indicare l'integrale, multiplo se necessario, su tutto lo spazio.

Siccome $dV=$dx$dy$dz per definizione, ho che, integrando p.es. su x, che

$BdV=$$$Bdxdydz=$$dydz$1.Bdx=$$dydz[xB-$x(dB/dx)dx]

(ho integrato per parti su x prendendo f=1 e g=B).

Il primo termine tra parentesi quadre e' nullo per l'ipotesi di rapida
decrescenza di B. Percio' $BdV=-$$$x(dB/dx)dV.

Adesso noto che $$$x(dB/dy)dV=$$$x(dB/dz)dV. Infatti, nel primo caso p.es.
integro su y ed ottengo $$x[B(x,+oo,z)-j(x,-oo,z)]dxdz, ed i termini tra
parentesi quadre sono nulli per ipotesi.

Posso quindi sommare questi due integrali (nulli) al precedente, ed ottengo
$BdV=-$$$[x(dB/dx)+x(dB/dy)+x(dB/dz)]dxdydz=-$$$x(div B)dV=0, CVD
Received on Fri Feb 06 2009 - 09:51:20 CET