Re: interessante problema di magnetostatica: senso fisico di un integrale non assolutamente convergente

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Fri, 6 Feb 2009 15:11:04 -0800 (PST)

On 6 Feb, 21:14, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Hypermars ha scritto:
>
> > Insomma, matematicamente e' chiaro, fisicamente e' giustificabile, ma
> > se io volessi dare una definizione rigorosa di
>
> > \int B(r) d^3r
>
> > cosa dovrei dire?
>
> Enrico SMARGIASSI ha scritto:> L'integrale di volume esteso a tutto lo spazio di un campo magnetico
> > (io B lo chiamo cosi'), in assenza di correnti all'infinito, e' sempre
> > nullo. Piu' in generale, lo e' l'integrale di qualunque campo
> > vettoriale a divergenza nulla che vada a zero all'infinito piu'
> > rapidamente di 1/r.
>
> Non ne esci comunque: se il campo non va a zero piu' rapidamente di
> 1/r^3 l'integrale non esiste.
>
> > Siccome $dV=$dx$dy$dz per definizione, ho che, integrando p.es. su
> > x, che
>
> > $BdV=$$$Bdxdydz=$$dydz$1.Bdx=$$dydz[xB-$x(dB/dx)dx]
>
> Gia' questo passaggio e' illecito: stai usando il teorema di Fubini
> che nel nostro caso non vale.
>
> Comunque, illecito per illecito, ti propongo una dim. molto piu' rapida.
> Sappiamo che si puo' porre B = rot A.
> Dopo di che ti trovi a integrare delle derivate di componenti di A, e
> siccome A per un dipolo magnetico va a zero come 1/r^2, gli integrali
> sono tutti nulli.
> (Naturalmente l'errore e' lo stesso: non e' lecito integrare
> *separatamente* sulle tre coordinate.)
>
> N.B.: Che l'integrale sia nullo lo crediamo tutti. Il problema e'
> quello di dare una definizione precisa di "integrale" in casi come
> questo, e al momento non so rispondere.


Ciao, secondo me non c'� alcun modo di definirlo che non sia "far
venire a martellate un risultato che si
vuole".
C'� un teorema di Riemann che mostra che una serie che non converge
assolutamente la si pu� far
convergere a qualunque numero riordinandola (e se invece converge
sempre alla stessa cosa sotto ogni riordinamento
allora converge assolutamente). Credo sia abbastanza semplice fare lo
stesso per un integrale
che non sia assolutamente convergente si dovrebbe riuscire a farlo
convergere a qualunque cosa aggiustando la procedura
con cui si "calcola" l'integrale (basta, al limite decomporre
l'integrale in una somma infinita di pezzi come una serie e poi usare
la dimostrazione di Riemann). Io credo che non ci sia niente da
fare...Io non credo che l'integrale sia nullo, credo che
*l'integrale* non abbia senso e basta. Hanno invece senso *gli
integrali* iterati o cose ancora pi� complicate, ma ogni
procedura fornisce un risultato differente come deve essere.

C'� ancora un modo di fare il calcolo che mi pare non avete
considerato. Quello di usare il teorema della divergenza su volumi
sempre pi� grandi che invadono tutto lo spazio.
 Prendiamo la componente B_z. Questo uno lo scrive come una divergenza

 _at__x C_x + @_y C_y + @_z C_z

dove C_x= A_y, C_y = -A_x , C_z = 0

Quindi

Int_V B_z dxdydz = flusso attraverso
il bordo di V di C

Ora l'integrale di superficie sul bordo di V NON tende a zero per il
campo dipolare per V che riempie lo spazio come si vede subito, perch�
il campo C decresce come 1/r^2.ma la superficie cresce come r^2.
Probabilmente si riesce a farlo tendere a qualunque cosa prendendo il
volume (la classe dei volumi) V di forma opportuna...

Ciao, Valter
Received on Sat Feb 07 2009 - 00:11:04 CET