interessante problema di magnetostatica: senso fisico di un integrale non assolutamente convergente

From: Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com>
Date: Thu, 5 Feb 2009 01:59:08 -0800 (PST)

Si vuole dare un senso a

\int B(r) d^3r

ovvero all'integrale esteso a tutto lo spazio del campo B (induzione
magnetica) associata a una sfera magnetizzata uniformemente.

Questo come generalizzazione della definizione di momento magnetico

\mu = \int M(r) d^3r

per verificare se si possa dire

\int B(r) d^3r = \mu

(nel caso che l'integrale di volume di H in tutto lo spazio sia zero)
oppure magari

\int B(r) d^3r = \mu_eff

una sorta di momento magnetico efficace (tipo 2/3 M V per la sfera) o
altre possibilita', incluso magari

\int B(r) d^3r = 0


Siccome il campo della sfera e' noto, ed e' 2/3 B dentro e il campo
dipolare fuori, possiamo valutare l'integrale su tutto lo spazio
esplicitamente.

Il risultato? dipende da come quell'integrale si valuta.


Se si procede in coord. sferiche, si ottiene 2/3 B V. Se si procede in
cartesiane si ottiene 0. Se si procede in cilindriche (scegliendo come
asse z un asse perpendicolare a M, e integrando dapprima su questo) si
ottiene 1/2 B V.

Potete eseguire i calcoli e verificare cio'.

Matematicamente questo si spiega con il fatto che B(r) non e'
assolutamente convergente, e quindi per Fubini il risultato dipende
appunto dall'ordine di integrazione.

Ciascuno dei tre risultati differenti ha un suo senso fisico:

2/3 viene dal fatto che si integra la parte interna costante, mentre
tutta la parte esterna svanisce

0 viene dal fatto che integrando dapprima su un piano perpendicolare a
M, data la natura solenoidale del campo il flusso netto e' nullo. Se
il flusso netto e' nullo su qualsiasi piano, il suo integrale nella
coordinata rimanente (la direzione di M) e' per forza nullo.

1/2 viene dal fatto che proiettando dapprima lungo un asse, si ottiene
un campo proiettato dove i campi esterni sopra e sotto la sfera nella
zona r<R non si compensano ma danno un risultato negativo (pari a
-1/6) che sommato al 2/3 della zona interna porta 1/2


Insomma, matematicamente e' chiaro, fisicamente e' giustificabile, ma
se io volessi dare una definizione rigorosa di

\int B(r) d^3r

cosa dovrei dire?


Bye
Hyper
Received on Thu Feb 05 2009 - 10:59:08 CET