gruppo ortogonale nello spazio di Minkowski

From: Imago Mortis <meccanica.quantostica_at_gmail.com>
Date: Fri, 30 Jan 2009 12:53:45 +0100

Ammirati Colleghi

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Nel corso di algebra lineare del primo anno si dice che una matrice non
singolare A e' ortogonale sse

   trasposta(A) = inversa(A)

e poi si dimostra che

A ortogonale <==>
le righe di A formano una base ortogonale <==>
le colonne di A formano un base ortogonale <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva il prodotto
   scalare <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva la norma <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa trasforma basi
ortonormali in basi ortonormali

--- 2 ---
Ora, la condizione che definisce una matrice (quindi una trasformazione)
di Minkowski e' solitamente
espressa nella forma

  trasposta(A) g A = g

ma puo' essere equivalentemente messa come

  g trasposta(A) g = inversa(A)

--- 3 ---
E' molto suggestiva l'analogia
I trasposta(A) I = inversa(A) <- in uno spazio euclideo
g trasposta(A) g = inversa(A) <- nello spazio di Minkowski
dove I e' la matrice identica.

--- 4 ---
Mi viene, quindi, da congetturare che se si ridefinisce il prodotto
righe per colonne di due matrici conformabili
non come si fa solitamente ma come il prodotto scalare di una riga della
prima per una colonna della seconda,
qualunque sia il prodotto scalare adoperato, la condizione

  trasposta(A) = inversa(A) conservi il suo significato

e tutte le equivalenze menzionate al punto 1 continuino a valere
(norma a parte, naturalmente), rieinterpretandone il significato
rispetto al nuovo prodotto scalare.

--- 5 ---
Invece, se si conserva l'ordinaria procedura per moltiplicare due
matrici riga per colonna,
la condizione
P trasposta(A) P = inversa(A)
dove P e' la matrice rappresentativa del prodotto scalare (qualunque
esso sia)
equivale alle condizioni del punto uno.

--- 6 ---
L'affermazione secondo cui il gruppo di Lorentz e' il gruppo ortogonale
("generalizzato" nel senso dei precedenti punti 4 e 5)
dello spazio di Minkowski credo possa esprimere proprio le condizioni di
cui ai punti 4 e 5.

--- 7 ---
Nella "teoria della RS: formulazione matematica", se non ho capito male,
le distinzioni tra i gruppi di Lie
O(3) ed O(1,3) riflettono la posizione di cui al punto 5, ma non quella
del punto 4. Sbaglio ?

Il tutto quadra ??

Buona lavoro !!

Imago Mortis
Received on Fri Jan 30 2009 - 12:53:45 CET