Re: gruppo ortogonale nello spazio di Minkowski

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 3 Feb 2009 01:44:54 -0800 (PST)

Ciao, non ho capito bene cosa vuoi dire.


On Jan 30, 12:53 pm, Imago Mortis <meccanica.quantost..._at_gmail.com>
wrote:


> Nel corso di algebra lineare del primo anno si dice che una matrice non
> singolare A e' ortogonale sse
>
> trasposta(A) = inversa(A)
>
> e poi si dimostra che
>
> A ortogonale <==>
> le righe di A formano una base ortogonale <==>
> le colonne di A formano un base ortogonale <==>
> l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva il prodotto
> scalare <==>
> l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva la norma <==>
> l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa trasforma basi
> ortonormali in basi ortonormali

OK


> --- 2 ---
> Ora, la condizione che definisce una matrice (quindi una trasformazione)
> di Minkowski e' solitamente
> espressa nella forma
>
> trasposta(A) g A = g
>
> ma puo' essere equivalentemente messa come
>
> g trasposta(A) g = inversa(A)


OK

> --- 3 ---
> E' molto suggestiva l'analogia
> I trasposta(A) I = inversa(A) <- in uno spazio euclideo
> g trasposta(A) g = inversa(A) <- nello spazio di Minkowski
> dove I e' la matrice identica.

OK

> --- 4 ---
> Mi viene, quindi, da congetturare che se si ridefinisce il prodotto
> righe per colonne di due matrici conformabili
> non come si fa solitamente ma come il prodotto scalare di una riga della
> prima per una colonna della seconda,

Cio�? Non ho mica capito intanto cosa sono due "matrici
conformabili"
poi non ho capito come sarebbe il nuovo prodotto scalare.

> qualunque sia il prodotto scalare adoperato, la condizione
>
> trasposta(A) = inversa(A) conservi il suo significato

Questa sarebbe comunque vera se definissi la trasposta come l'aggiunta
rispetto al prodotto scalare.
Mi spiego. Tu hai un prodotto scalare ( | ), come sia fatto non
importa, basta che sia non degenere.
Ora definisci la trasposta A^t di una matrice A come l'unica matrice
A^t tale che

(A^t u| v) = (u| Av) per ogni scelta di vettori u,v

Le matrici "ortogonali" rispetto a quel prodotto scalare sono quelle
che soddisfano

A^t = A^{-1}

Non importa come sia fatto il prodotto scalare, basta che sia non
degenere (altrimenti non individui A^t).
Nel caso Minkowskiano il gruppo che viene fuori, usando il prodotto
scalare di Minkowski � proprio
O(1,3), se il prodotto scalare � quello euclideo su R^n, il gruppo � O
(n) ecc...

Era questo che dicevi?
Ciao, Valter
Received on Tue Feb 03 2009 - 10:44:54 CET