Re: vettore di poynting ed entropia

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Fri, 9 Jan 2009 10:07:04 -0800 (PST)

On 8 Gen, 21:29, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:

> > s=k\beta[T_{00}-<T_{00}>] e
> > J_{i}=k\beta T_{0i} la densita' di corrente di entropia, proporzionale
> > al vettore di Poynting nel caso di un campo elettromagnetico.
> > Con <T_{00}> ho indicato il valore all'equilibrio alla temperatura
> > inversa beta=1/kT.
>
> Forse non l'ho capita bene, ma questa definizione non mi convince.

Cerco di spiegare qui quello che ho capito (no molto a dire il vero :-
( ) del senso di quella definizione.
L'idea e' di cercare di capire quale sia la variazione di entropiadi
un sistema
una volta che l'hamiltoniana H0 rispetto alla quale il sistema si
trovava in equilibrio alla temperatura T:
H=H0+deltaH. I valori di aspettazione di una certa osservabile O,
<O>=, sono modificati dal valore
<O>=<O>_{eq} ala valore <O>=<O>_{eq}+delta<O>. L'entropia S e' data
da
S=k(1-\beta\partial_{\beta})\lnZ
dove Z e' la funzione di partizione del sistema Z=Tr[exp(-\betaH)].
Il cambio di entropia sara' dato da
\deltaS=...=k\beta\delta<H0>=k\beta\delta\int_{V} <T_{00}>
dunque e' naturale definire l'operatore densita' di entropia s come
s=k\beta[T_{00}-<T_{00}>_{eq}] e
J_{i}=k\beta T_{0i} .

Inoltre, siccome la ''matrice densita''' rho(t) evolve secondo
\partial_{t}\rho(t)=-i[H,\rho(t)]
si ha che il valore di aspettazione <O>=Tr[O(t)\rho(t)]
evolve nel tempo rispetto ad una H perturbata seguendo
\partial_{t}<O(t)>=<\partial_{t}O(t)>+i<[\deltaH,O(t)]>.
Dunque per la densita' di entropia segue (seguirebbe d'obbligo perche'
come dicevo sono confuso sull'argomento) che
\partial_{mu}<J^{mu}>=i<[\deltaH,s(t,x)]>
dove J^{mu}={s,J^{i}}.
Integrando quest'ultima espressione (cioe' integrando entrambe le
densita' di entropia ai due membri e trascurando termini di bordo) si
ottiene
d/dt <S(t)>=i<[\deltaH,S(t)]> =ik\beta<[\deltaH,H]>=ik\beta
[\deltaH,H0].
Torno a rifletterci su perche' poche cose di quelle che ho scritto mi
sono veramente chiare (le ho scritte perche' in realta' qualcuno tra
voi mi aiutasse in queste riflessioni :-) ).
ciao.
Received on Fri Jan 09 2009 - 19:07:04 CET